整数：ｎ

三角数：ｎ（ｎ＋１）／２

四面体数：ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）／６

５胞体数：ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）／２４

　ここでは，シェルピンスキーの論文にしたがって，四面体数の性質について考えてみる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　１６１^2−３６０・７２＝１

より，

　　ａn+1＝１６１ａn＋３６０ｂn，ｂn+1＝７２ａn＋１６１ｂn

　　ａ1＝９，ｂ1＝４とする．

　　ａn+1＝１６１ａn＋３６０ｂn＝１６１ａn＋３６０（７２ａn-1＋１６１ｂn-1）

　＝１６１ａn−ａn-1＋１６１（１６１ａn-1＋３６０ｂn-1）＝１６１ａn＋１６０ａn-1

　　ｂn+1＝７２ａn＋１６１ｂn＝７２（１６１ａn-1＋３６０ｂn-1）＋１６１ｂn

　＝１６１（７２ａn-1＋１６１ｂn-1）＋１６１ｂn−ｂn-1＝１６１ｂn＋１６０ｂn-1

より

　　ａn+1＝１６１ａn＋１６０ａn-1，ｂn+1＝１６１ｂn＋１６０ｂn-1

　α，βを２次方程式ｘ^2−１６１ｘ−１６０＝０の根として，

　　ａn+1−αａn＝β（ａn−αａn-1）＝β^2（ａn-1−αａn-2）＝・・・＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）

α，βを入れ替えると

　　ａn+1−βａn＝α^(n-1)（ａ2−βａ1）

　　ａn+1−αａn＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）

　したがって，整数列｛ａn｝の一般項は

　　ａn＝｛α^(n-1)（ａ2−βａ1）−β^(n-1)（ａ2−αａ1）｝／（α−β）

　整数列｛ｂn｝でも同じ漸化式ですから，同じ一般項になります．

　　ｂn＝｛α^(n-1)（ｂ2−βｂ1）−β^(n-1)（ｂ2−αｂ1）｝／（α−β）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　ところで，

　　（１６１ａ＋３６０ｂ）^2−５（７２＋１６１ｂ）^2＝ａ^2−５ｂ^2

より，

　　α^n＝ａn＋ｂn√５

　　β^n＝ａn−ｂn√５

を満足させるような整数列｛ａn｝，｛ｂn｝になっています．

　これらの数列は

　　ａn^2−５ｂn^2＝１

となる関係式で結ばれていて，

　　ａn／ｂn→　√５

ですから，√５に最も近い分数を与えることがわかります（最良近似）．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝