■exp(π) (その1)
n次元単位超球{x1^2+x2^2+・・・+xn^2≦1}の体積をn次元球の体積をVn,表面積をSn-1とします.
Vn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)
で与えられますが,V1=2(直径),V2=π(面積),V3=4π/3(体積)はご存知でしょう.
nが整数のとき,実際にVnの値を計算してみると,超球の体積はn=5のとき最大8π^2/15=5.2637・・・となり,以後は減少します.
Vn
1次元 2
2次元 π=3.14
3次元 4π/3=4.19
4次元 π^2/2=4.93
5次元 8π^2/15=5.263
6次元 π^3/6=5.167
7次元 16π^3/105=4.72
(次元を整数に限らなければ5.256次元で最大となり,そのときの体積は5.277・・・である.)
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2n次元超球の体積は
V2n=π^n/n!
このことから0次元も含めて偶数次元の単位超球の体積をすべて加えた値は exp(π)
になる.
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