Σ１／２^n＝１／２＋１／４＋１／８＋・・・＝１

　　Σｎ／２^n＝１／２＋２／４＋３／８＋・・・＝２

　　Σｎ^3／２^n＝１／２＋８／４＋２７／８＋・・・＝２６

　　Σｎ^4／２^n＝１５０

　それに対して，

　　Σ１／ｎ^2＝π^2／６

　　Σ１／ｋ２^k＝１／１・２＋１／２・４＋１／３・８＋１／４・１６＋・・・＝ｌｏｇ２

　　Σ１／ｎ^2２^n＝π^2／１２−（ｌｎ２）^2／２

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　海野啓明先生（仙台高専）に教えていただいたのであるが，

　　ｆ（ｘ）＝Σ（ｘ／２）^k＝１／（１−ｘ／２）−１

＝２／（２−ｘ）−１，｜ｘ｜＜２

　積分すると

　　Ｆ（ｘ）＝Σ（ｘ／２）^k／ｋ＝ｌｏｇ２−ｌｏｇ（２−ｘ）

さらに，

　　∫(0,x)｛ｌｏｇ２−ｌｏｇ（２−ｔ）｝／ｔｄｔ＝Σ（ｘ／２）^k／ｋ^2

　　∫(x,2)｛ｌｏｇ２−ｌｏｇ（２−ｔ）｝／ｔｄｔ＝π^2／６−Σ（ｘ／２）^k／ｋ^2

　部分積分より，級数展開

Σ１／ｋ２^k＝ｌｏｇ２

Σ１／ｋ^2２^k＝π^2／１２−１／２・（ｌｏｇ２）^2

が得られるという．

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