ときに仰天させられる結果に出会うことがある．今回のコラムでは，正の整数ｎを２つの整数の平方和で表す方法：ｎ＝ｘ^2＋ｙ^2が平均してπ通りあることを紹介する．
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【１】ラグランジュの定理（４平方和定理）
「すべての正の整数は高々４個の整数の平方和で表される」というのが，ラグランジュの定理です．すなわち，ラグランジュの定理は４次元空間内の原点を中心とする半径√ｎの球面には必ず格子点があることを主張しているわけです．半径√ｎの２次元の円，３次元の球には格子点が存在するとは限らないのです．
４＝（±１）^2＋（±１）^2＋（±１）^2＋（±１）^2 １６通り
４＝（±２）^2＋０^2＋０^2＋０^2 ＋８通り
のように，順列，符号，０を含む４個の平方数による分割
ｎ＝ｘ1^2＋ｘ2^2＋ｘ3^2＋ｘ4^2
の解の個数をＲ（ｎ）で表せば，１８２９年，ヤコビは
Ｒ（ｎ）＝ ８Σ（２ｄ＋１） ｎ≡１（mod 2）
Ｒ（ｎ）＝２４Σ（２ｄ＋１） ｎ≡０（mod 2）
Σは（２ｄ＋１）｜ｎをわたる
を示しました．すなわち，４で割り切れないｎの約数の８倍です．
Ｒ（４）＝８（１＋２）＝２４
この出発点となった考え方は，
{Σq^(n^2)}^4=ΣR(n)q^n
=1+8nq^n/(1-q^n)
の２つの表現のq^nの係数を比較することであって，Σq^(n^2)はテータ関数です．Ｒ（ｎ）を求めるのにヤコビはテータ関数を用いたのですが，それ以来，モジュラー形式などの解析的理論が数論へ応用されるようになり，ヤコビは２，４，６，８個の平方の和に分解する仕方の数，エルミートは３，５個の平方の和に分解する仕方の数を得ています．
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【２】２平方和定理と３平方和定理
どの場合に２つで済むのか，３つで済むのか？という問題は，ラグランジュの定理に先行するフェルマー・オイラーの定理，オイラー・ルジャンドルの定理で解決されています．
［１］フェルマー・オイラーの定理（２平方和定理）
特別な素数である２を除外して，素数は４で割ると余りが１になるもの（５，１３，１７，２９，３７，４１，・・・）と３になるもの（３，７，１１，１９，２３，３１，・・・）の２種類に分けられます．
このうち，４ｎ＋１の形の素数は２つの整数の平方の和として表されます．たとえば，５＝１^2＋２^2，１３＝２^2＋３^2，１７＝１^2＋４^2，２９＝２^2＋５^2
幾何学的な解釈を与えると半径√ｐの円上には８個の格子点が存在するのです．しかし，４ｎ＋３の形の素数は１つもこのようには表せないのです．この定理はフェルマーの定理と呼ばれ，フェルマーは無限降下法でこれを証明しましたが，その証明は不十分で，１００年後のオイラーによって完全な証明がなされています．
それでは，どのような自然数ｍが２つの平方数の和の形に書くことができるのでしょうか？ ２つの平方数の和になる数ｍ＝４ｎ＋３はありません．ｍの素因数分解におけるｐ＝４ｎ＋３の形のすべての素因数の指数が偶数であるときに限り，２つの平方数の和の形に表すことができるのです．
すなわち，
ｐ＝１ （ｍｏｄ３）
ｑ＝−１ （ｍｏｄ３）
ｍ＝２^aΠｐ^bΠｑ^c
において，すべてのｃが偶数のとき，ｍ＝ｘ^2＋ｙ^2に対する解は存在するのです．
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［２］ガウス・ルジャンドルの定理（３平方和定理）
４ｎ＋３の形の素数は２個の平方数の和で表せませんが，同様にして，
「８ｎ＋７の形の素数は３個の平方数の和では表されない．」
４の非負のベキをかけたときの自然数ｍ≠４^k（８ｎ＋７）はｍが高々３個の平方数で表されるための必要十分条件です．すなわち，
ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2≠４^k（８ｎ＋７）
のときに限って整数解をもちます．
このことは、平均して全整数の
１／８＋１／４・８＋１／１６・８＋・・・＝１／６
は三平方和で表すことができないことを意味しています．
ガウスの定理ともルジャンドルの定理とも呼ばれますが，ルジャンドルは２次形式ａｘ^2＋ｂｙ^2＋ｃｚ^2の研究を通して，より一般的な３元２次形式論として，この結果を得ています．
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【３】ｎ＝ｘ^2＋ｙ^2
和の順序や整数の正負も区別すると，２は２つの平方数の和で４通りに表せる．
２＝（±１）^2＋（±１）^2
しかし，３は２つの平方数の和では表せない数である．５は
５＝（±２）^2＋（±１）^2
５＝（±１）^2＋（±２）^2
と書けるから８通りに表せる．そこで
［Ｑ］正の整数ｎを２つの平方数の和で表す方法は，平均して何通りあるか？
［Ａ］たとえば，１，２，・・・，１０の表し方の個数はそれぞれ，４，４，０，４，８，０，０，４，４，８だから，平均は３．６である．１２８までのとき，平均は３．１５６２５となるそうだ．
平均してπ通りあるのだが，共通点がなにもないようなこんな意外なところになぜπが出てくるのだろうか？ πは２つの異質な対象を密接に関係づけるのだが，πについての別のおもしろい問題「互いに素となる整数」がある．
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１つの数が素数ｐiによって割り切れる確率は１／ｐi，両方の数が同じ素数で割り切れる確率は１／ｐi^2になります．２つの数がどちらもｐiで割り切れない確率は１−１／ｐi^2ですから，互いに素である確率はΠ（１−１／ｐi^2）．
ここで，
Π１／（１−１／ｐi^2）＝Π（１＋１／ｐi^2＋１／ｐi^4＋・・・）＝Σ１／ｎ^2＝ζ（２）
したがって，２つの整数が互いに素である確率は１／ζ（２）＝６／π^2（０．６０８）すなわち，２つの無作為に選んだ整数が互いに素である確率は１／ζ（２）＝６／π^2 （６１％）となります．
同様にして３つの整数が互いに素である確率は１／ζ（３）＝０．８３２、４つの整数が互いに素である確率は１／ζ（４）＝９０／π^4（０．９２３９）を得ることができます．オイラー積により，１／ζ（ｓ）はｓ個の整数を勝手に選んだとき，同時に割り切ることのできる１でない数が存在しない確率であることがわかります．
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