有名な整数論の結果から，１／ζ（ｓ）はｓ個の整数を勝手に選んだとき，同時に割り切ることのできる１でない数が存在しない確率となります．したがって，ランダムに選んだ２つの整数が互いに素である確率は１／ζ（２）＝６／π^2 （６１％）となります．６０％以上の確率で互いに素となるというわけです．

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【１】ディリクレの定理（１８４９年）

　２つの無作為に選んだ整数が互いに素である確率は１／ζ（２）＝６／π2 （６１％）となることを説明もなしに述べましたが，ここで解説することにします．

　１つの数が素数ｐi によって割り切れる確率は１／ｐi ，両方の数が同じ素数で割り切れる確率は１／ｐi^2になります．２つの数がどちらもｐi で割り切れない確率は１−１／ｐi^2ですから，互いに素である確率は

　　Π（１−１／ｐi^2）．

　ここで，Π１／（１−１／ｐi^2）＝Π（１＋１／ｐi^2＋１／ｐi^4＋・・・）＝Σ１／ｎ^2 ＝ζ（２）

　したがって，２つの整数が互いに素である確率は１／ζ（２）＝６／π^2 （０．６０８），同様にして３つの整数が互いに素である確率は１／ζ（３）＝０．８３２，４つの整数が互いに素である確率は１／ζ（４）＝９０／π^4 （０．９２３９）を得ることができます．

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