ユークリッドの互除法の解析を続ける．除算ステップの最大回数がわかったから，次は平均回数を求めたい．

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［１］近似モデル

　分母がｎのときの平均回数を

　　Ｔn＝１／ｎ・ΣＴ（ｋ，ｎ）

とすると，漸化式

　　Ｔ0＝０，

　　Ｔn＝１＋（Ｔ0＋Ｔ1＋・・・＋Ｔn-1）／ｎ

　　Ｔn+1＝１＋（Ｔ0＋Ｔ1＋・・・＋Ｔn）／（ｎ＋１）

＝１＋（ｎ（Ｔn−１）＋Ｔn）／（ｎ＋１）＝Ｔn＋１／（ｎ＋１）

が成り立つ．

　したがって，Ｔn＝Ｈnすなわち調和数となるから

　　Ｔn＝ｌｎ（ｎ）＋Ｏ（１）

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［２］連続モデル（ガウスの定理）

　１８２８年，ガウスは整数部を除いた［０：ａ1，ａ2，ａ3，・・・，ａn］がｘより小さい小数となる確率は

　Ｐ（［０：ａ1，ａ2，ａ3，・・・，ａn］＜ｘ）＝ｌｏｇ2（１＋ｘ）＋εn

で与えられることを証明しました．

　誤差項に関して，１９２８年にクズミンはほとんどすべての連分数に対して，

　　εn＝Ｏ（ｑ^√n）　　０＜ｑ＜１

１９２９年にレヴィは

　　εn＝Ｏ（ｑ^n）　　ｑ＝０．７

であることを示しました．どちらも誤差項εnは漸近的に０になることを示しています．

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