ミンコフスキーは数論家として出発しましたが，研究を進めるにしたがって次第に幾何学に興味を惹かれるようになり，幾何学的方法を用いて数論を研究する「数の幾何学」と呼ばれる新しい数学分野を打ち立てました．

　格子点定理が数の幾何学の基礎となっているのですが，格子点定理は次のように述べることができます．

　「平面（ｎ次元空間）上の任意の単位格子において，１つの格子点を中心として１辺の長さが２の正方形（面積４の平行四辺形，面積２^nの中心対称な凸体）を任意の向きにおいてみると，内部あるいは境界上にもうひとつの格子点が必ず存在する．」

　今回のコラムでは，ミンコフスキーの格子点定理の証明を紹介します．

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【１】ガウスの円問題

　原点を中心とした半径ｒの円の内部（境界を含む）にある整数点の個数をＲ（ｒ）で表す．

　　Ｒ（１０）＝３１７　　　　　　　Ｒ（１００）＝３１４１７

　　Ｒ（２０）＝１２５７　　　　　　Ｒ（２００）＝１２５６２７

　　Ｒ（３０）＝２８２１　　　　　　Ｒ（３００）＝２８２６９７

　Ｒ（ｒ）は円の面積の推定値を与える．

　　ｒ　　　Ｒ（ｒ）／ｒ^2　　　　　ｒ　　　Ｒ（ｒ）／ｒ^2

　　１０　　　３．１７　　　　　　　１００　　　３．１４１７

　　２０　　　３．１４２５　　　　　２００　　　３．１４０７２５

　　３０　　　３．１３４　　　　　　３００　　　３．１４１０７

　ガウスは

　　｜Ｒ（ｒ）−πｒ^2｜＜ｃｒ

を示したが，

　　｜Ｒ（ｒ）−πｒ^2｜＜ｃｒ^k

となるｋの最小値を求める問題に一般化される．

　シェルピンスキーはｋ≦２／３を証明し，ガウスのｋ＝１を大きく改善した．１９６３年に陳景潤はｋ≦２４／３７を，１９９０年にハクスリーはｋ≦４６／７３を得たが，シェルピンスキーの成果からほんのわずかしか進んでいない．

　ｋ＝１／２と予想されている．同じ問題を３次元球についても考えることができる．

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【２】ミンコフスキーの格子点定理

　ここではミンコフスキーの定理を一般的な形で述べることはせず，正方格子の場合について，「正方格子のひとつの格子点を中心として１辺の長さ２の正方形を任意の向きにおいてみると，この正方形の内部または境界上にもうひとつの格子点が必ず存在する」ことをガウスの円問題と同様に定式化する．

　格子点に長さｓの正方形をおくと，正方形で覆われた部分の面積はｓ^2Ｒ（ｒ），また，これらの正方形はすべて半径ｒ＋２ｓの円の内部に落ちるから，

　　ｓ^2Ｒ（ｒ）≦π（ｒ＋２ｓ）^2

　　ｓ^2≦πｒ^2（１＋２ｓ／ｒ）^2／Ｒ（ｒ）

　この不等式においてｓを固定しておき，ｒ→∞とすると右辺→１．こうしてｓ≦１が得られる．

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【３】一般の格子に対するミンコフスキーの格子点定理

　ｎ本のベクトルで張られる平行２ｎ面体の体積

　　｛λ1ｘ1＋λ2ｘ2＋・・・＋λnｘn：０≦λi≦１｝

について述べておきます．

　写像：ｙ＝Ａｘによって，単位直方体は平行２ｎ面体に写像されるものとすると，この写像のヤコビアンはＪ＝｜Ａ｜となります．また，グラミアン

　　Ｇ＝｜Ａ｜^2

が成立しますから，平行２ｎ面体のｎ次元体積は

　　｜Ｇ｜^(1/2)＝｜Ａ｜

で与えられます．

　したがって，Λを体積Δをもつ格子とすると

ミンコフスキーの定理から，

　　（中心対称凸体の体積）＞２^nΔ

ならば，内部あるいは境界上に格子点が必ず存在することになります．

　単位球の体積：Ｂ^n＝π^n/2／Γ（ｎ／２＋１），ｘ1^2＋・・・＋ｘn^2≦λ^2の体積はλ^nＢ^nですから，与えられた判別式をもつｎ元２次形式の最小値に対する上界Ｍが

　　Ｍ＜Ａn｜Ａ｜^1/n　　　（Ａn＝４（Γ(n/2+1)）^2/n／π）

で与えられることが証明されます．この結果はエルミートのものより精密です．

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