商がａになる確率は

　　ｌｏｇ2（１＋１／ａ）−ｌｏｇ2（１＋１／（ａ＋１））

＝ｌｏｇ2（１＋１／ａ（ａ＋２））

　次の問題は，幾何平均

　　｛ΠａＰa｝^1/a

に関するものです．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】ヒンチンの定理

　次にａnの幾何平均値を求めてみます．１９３５年，ヒンチンは一般の連分数

　　［ａ0：ａ1，ａ2，ａ3，・・・，ａn，・・・］

の大多数についてあてはまる法則を発見しています．

　ヒンチンの定理とは，幾何平均（ａ1ａ2・・・ａn）^1/nの値がｎ→∞のとき，ある無限乗積から定まる定数

　　（ａ1ａ2・・・ａn）^1/n→Π(1+1/k(k+2))^logk/log2=2.685452001･･･

に収束するというものです．κ＝２．６８５４５・・・はヒンチンの定数として知られています．また，近似分数の分母が

　　（Ｂn)^1/n→ｅｘｐ（π^2/12log2)＝３．２７５８２・・・

になることを示しました．

　ただし，分母に明確なパターンのある代数的数やｅをはじめとするいくつかの超越数は例外になります．

　　（ｅの場合，（ａ1ａ2・・・ａn）^1/n→0.6259･･･）

　算術平均は発散するのに対し幾何平均は収束するというわけですが，ほとんどすべての連分数の場合，調和平均も収束し，その極限値は

　　ｎ／（1/ａ1+1/ａ2+・・・+1/ａn）→１．７４５４０５６８・・・

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【３】レヴィの定数

　実数ｘのｎ項までの連分数展開ｐn／ｑnとする．ほとんどすべての実数に対して，

　　（ｑn）^1/n→ｅｘｐ（π^2／１２ｌｏｇ２）＝３．２７５８２２９２・・

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝