ｎ^2＋ｎ＋４１は，ｎ＝０〜３９に対して素数値をとる．それでは，

［Ｑ］素数を表す１変数多項式型公式はあるか？

［Ａ］整数係数の多項式は無限に多くの合成数を値にとるので，No．しかし，すべての正の値が素数であるような多変数多項式が存在する．

　なお，

　指数型公式→メルセンヌ数

　２重指数型公式→フェルマー数

　素数階乗型公式→ユークリッド数

　　２＋１＝３（素数）

　　２・３＋１＝７（素数）

　　２・３・５＋１＝３１（素数）

　　２・３・５・７＋１＝２１１（素数）

　　２・３・５・７・１１＋１＝２３１１（素数）

　　２・３・５・７・１１・１３＋１＝３００３１＝５９・５０９（非素数）

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　指数が素数のとき，対応するメルセンヌ数２^p−１は素数にも合成数にもなり得る，それでは，

［Ｑ］ｐをメルセンヌ素数とするとき，２^p−１はメルセンヌ素数であるか？

［Ａ］８１９１＝２^13−１はメルセンヌ素数である．しかし，２^8191−１は素数ではない．これはメルセンヌ素数を指数にもつメルセンヌ素数かという古くからの予想に対する反例となっている．

　現在，大きなメルセンヌ素数を発見することによって，その分布についての新しい予想が立てられている．それにより，メルセンヌ素数に関する予想はメルセンヌ素数以上にあるという状況（伝統）になっているのである．

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