ｎ＝２３４７１の場合，２^(2^23471)＋１の約数のひとつも

　　ｋ・２^23471＋１，ｋ＝２０

となる．

　この桁数は１０^7063より多く，除算を実行して因数である頃を示すことはできない．ｍｏｄ演算を使うのであるが，（その７）で，

［Ｑ］ｐ＝２７４１７７＝１０７１・２^8＋１が２^(2^6)＋１の約数であることを示せ．

を解いたときのように，ｑ＝ｋ・２^n＋１がＦ（ｍ）を割り切るのは

　　２^(2^m)＝−１　　（ｍｏｄ　ｑ）

が成り立つとき，また，そのときに限る．

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　指数が素数のとき，対応するメルセンヌ数２^p−１は素数にも合成数にもなり得る，

　８１９１＝２^13−１はメルセンヌ素数である．しかし，２^8191−１は素数ではない．これはメルセンヌ素数を指数にもつメルセンヌ素数かという古くからの予想に対する反例となっている．

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