フェルマー数２^(2^n)＋１が合成数であれば，約数はｋ・２^n＋１の形であるという定理があり，Ｆ（５）＝２^(2^5)＋１の場合，

　　ｋ・２^5＋１，ｋ＝２０

　　２０・２^5＋１＝６４１

として発見に繋がった．

　実際はｋ・２^n+1＋１の形であるから，ｋ＝１から１０の試行除算で，因数が見つかることになる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】メルセンヌ数

　メルセンヌ数２^p−１の素因数ｑは

　　ｑ＝２ｐｒ＋１

の形になる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　２０４７＝２^11−１は合成数となる最小の数である．その素因数は

　　ｑ＝２２ｒ＋１

のかたちになるが，ｒ＝１を代入すると，ｑ＝２３で，早速

　　２０４７＝２３・８９

が得られる．

　ｒ＝１を代入すると，ｑ＝８９で，

　　２０４７＝２３・８９

が得られる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　｛Ｍ（ｐ）｝^1/2≧ｑ＝２ｐｒ＋１

　　｛Ｍ（ｐ）｝^1/2＜２^p/2

　　ｒ＜（２^p/2−１）／２ｐ

　ｐ＝１１のときは，ｒ≦２が得られる．しかし，ｐ＝６７のときは，

　　ｒ≦９．０６５６７・１０^7

となって，この方法は実用的ではないことがわかる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝