フェルマーの小定理の逆は成り立たない．たとえば，

　　　２^340＝１　　　（ｍｏｄ　３４１）

であるが，３４１は素数ではない．

　　３４１＝１１・３１

は合成数である．

　１から１０^9までの間には，５０００万個以上の素数があるが，底２に関する擬素数は５５９７個しかない．

　次に，底３を使えば，

　　　３^340＝５６　　　（ｍｏｄ　３４１）

これは３４１が合成数である証拠である．

　１から１０^9までの間には，底２および３に関する擬素数は１２７２個とかなり減少する．さらに，底２，３，５に関する擬素数は６８５個しかない．

　大きな数ｎが，２とｎ−２の間の底に関して，擬素数であるかどうかを調べることは大変な作業であろう．

　１９１２年，カーマイケルは，５６１が完全擬総数であることを示した．ｂ＝２からｂ＝５５９まで

　　ｂ^561＝ｂ　　　（ｍｏｄ　５６１）

が成り立つことを確かめたのである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　５６１＝３・１１・１７

　ｂ^561−ｂが５６１で割り切れることを示すためには，３，１１，１７で割り切れることを示さなければならない．

　　ｂ^561＝ｂ　　（ｍｏｄ　３）

　　ｂ^561＝ｂ　　（ｍｏｄ　１１）

　　ｂ^561＝ｂ　　（ｍｏｄ　１７）

　ここでは，

　　ｂ^561＝ｂ　　（ｍｏｄ　１７）

を示したい．

　１７がｂを割り切らないとき，フェルマーの小定理より，

　　ｂ^16＝１　　（ｍｏｄ　１７）

　５６１＝３５・１６＋１より，

　　ｂ^561＝（ｂ^16）^35ｂ＝ｂ　　（ｍｏｄ　１７）

となる．

　同様に

　　５６１＝２８０・２＋１

　　５６１＝５６・１０＋１

より，

　　ｂ^561＝ｂ　　（ｍｏｄ　３）

　　ｂ^561＝ｂ　　（ｍｏｄ　１１）

も示すことができる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝