１７４２年，オイラーはフェルマー数２^(2^5)＋１の約数６４１を見つけた．

　一般に２^(2^n)＋１が合成数であれば，約数はｋ・２^n＋１の形であるという定理があり，この場合，

　　ｋ・２^5＋１，ｋ＝２０

　　２０・２^5＋１＝６４１

として発見に繋がった．

　しかし，同じ方法で２^(2^6)＋１の約数を見つけようとすると，コンピュータなしにそれを成し遂げることはかなり難しい．同様の書き方をすると

　　ｋ・２^6＋１，ｋ＝１０７１・４＝４２８４

　　４２８４・２^6＋１＝２７４１７７

となるからである．

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［Ｑ］ｐ＝２７４１７７＝１０７１・２^8＋１が２^(2^6)＋１の約数であることを示せ．

［Ａ］１０７１＝３^2・７・１７＝７・９・１７＝ｑ・ｒ・ｓ

ｑ^8＝７０８４　　（ｍｏｄ　ｐ）

ｒ^8＝９３２　　　（ｍｏｄ　ｐ）

ｓ^8＝１４６２０７　　（ｍｏｄ　ｐ）

（ｑｒ）^8＝２２０４０　　（ｍｏｄ　ｐ）（

（ｑｒｓ）^8＝２７４１７６＝−１　　（ｍｏｄ　ｐ）

（１０７１）^8＝−１　　（ｍｏｄ　ｐ）

　ここで，ｐ＝１０７１・２^8＋１であるから，

　　（１０７１・２^8）^8＝１　　（ｍｏｄ　ｐ）

が得られる．

　　（１０７１・２^8）^8＝（１０７１）^8・２^64＝１　　（ｍｏｄ　ｐ）

　　−２^64＝１　　（ｍｏｄ　ｐ）

　　２^64＋１＝０　　（ｍｏｄ　ｐ）

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