コラム「射影幾何学における２つの定理」（その２）（その４）において，「パップスの定理」という非常に古い定理を紹介した．この定理は代数幾何の観点からいっても色褪せない美しい定理である．

　パップスの定理は直線の固有の性質というものではなく，円でも同様に成り立つことをパスカルが発見する．

　　パスカルの定理：円に内接する六角形の対辺の交点は共線である．

　その後，楕円でも双曲線でも広く成り立つことがわかった．すなわち，パスカルの定理の主張されている円を底面にもつ円錘を考えて，その円錐を斜めに切ることで一般の円錐曲線に対してもパスカルの定理が成り立つのである．

　最初に発見されたときには直線固有の性質を使って証明されているが，徐々にそのような強い性質は不要であり，本質はもっと他の図形も備えている別の性質にある・・・このように具体的な法則を見つけて，それが一般的な対象についても成り立つというような探求を極限まで進めていくのが代数幾何の思想である．

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【１】パップスの定理

　「直線上に３点Ａ，Ｂ，Ｃ，もう一つの直線上に３点Ａ’，Ｂ’，Ｃ’をとる．ＡＢ’とＡ’Ｂの交点をＰ，ＢＣ’とＢ’Ｃの交点をＱ，ＡＣ’とＡ’Ｃの交点をＲとするとき，Ｐ，Ｑ，Ｒは同一直線上にある．」

　すなわち，２つの直線上にそれぞれ３点ずつとってクモの糸のように結ぶと，新しくできる交点３つは共線をなして並ぶ，２直線上にすべての頂点がのっている６角形の反対側の位置にある辺同士の交点は同一直線上にあるというのが射影幾何学におけるパップスの定理である．

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【２】パスカルの円錐曲線定理（１６４０年）

　円錐曲線すなわち楕円，双曲線，放物線に内接する任意の六角形の三組の対辺の交点は同一直線上にある．

　円錐曲線には種々の形があります．直線は無限半径をもつ円ですが，２本の直線からなる退化した円錐曲線（ａｘ＋ｂｙ＋ｃ）（ｄｘ＋ｅｙ＋ｆ）＝０を考えればパップスの定理にたどりつきます．パスカルの定理は円錐曲線が既約でない場合にも成り立つというわけで，どのような円錐曲線でもこの定理が成り立つことが主張されているのです．

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　パスカルは，直線を直線に移す円板の非ユークリッド幾何学的な変換

　　ｘ’＝（ａｘ＋ｂｙ＋ｃ）／（ｕｘ＋ｖｙ＋ｗ）

　　ｙ’＝（ｄｘ＋ｅｙ＋ｆ）／（ｕｘ＋ｖｙ＋ｗ）

を行っても定理で述べられた性質は保たれることを見抜いて簡明な証明を与えています．

　たとえば，

　　ｘ’＝２ｘ／（１＋ｙ）

　　ｙ’＝（１−ｙ）／（１＋ｙ）

と変数変換すると単位円ｘ’^2＋ｙ’^2＝１は放物線ｙ＝ｘ^2になり

　　ｘ’＝２／（ｘ＋ｙ）

　　ｙ’＝（−ｘ＋ｙ）／（ｘ＋ｙ）

と変数変換すると単位円ｘ’^2＋ｙ’^2＝１は双曲線ｘｙ＝１になります．この変換によって直線の交差する角度や線分の長さは保たれませんが，これが射影幾何学の視点であって，射影幾何学とは長さや角の大きさに無関係に，例えば，いくつかの点がある直線上にあるといった関係，射影によって不変な図形の性質を研究する学問です．

　この変換によって，射影平面上では円錐曲線はただ１種類しかなく，双曲線・放物線・楕円などの区別はなく，どれも同種の曲線となります．したがって，パスカルの円錐曲線定理は円に対する証明を示せば直ちに得られることになります．実際，問題が簡単な形になったことで，パスカルは古典幾何学的に円に対する証明を与えていますが，それで放物線に対しては直接証明することなしに自動的に定理が導かれたというわけです．

　パスカルの定理の重要な系が「円錐曲線は任意の５点で一意に定まる」です．パスカルの定理から１５０年以上たって，その双対にある共点定理「円錐曲線の外接する６辺形の対角線は１点で交わる」が発見されたのですが，それがブリアンションの定理です．また，射影平面上では点という語と直線という語を入れ替えても定理は成り立っています．これをポンスレーの双対原理と呼び，射影幾何学の最も美しい特質です．

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【３】パスカルの円錐曲線定理の拡張

　円錐曲線上に６点を定める．３次曲線Ｅ1，Ｅ2がこれら６点を通るとき，Ｅ1，Ｅ2はさらに３点Ｒ，Ｓ，Ｔで交差するが，これらの交点は同一直線上にある．

　３次曲線Ｅ1，Ｅ2は一般に９個の交点をもちますから，前述のパスカルの定理は，拡張形定理（２次曲線あるいは３次曲線相互の交点が直線上に並ぶことを主張する定理）において，３次曲線が直線に退化した特別な場合：（ａｘ＋ｂｙ＋ｃ）（ｄｘ＋ｅｙ＋ｆ）（ｇｘ＋ｈｙ＋ｉ）＝０とみなすことができます．

　この拡張形定理は楕円曲線：ｙ^2＝ｘ^3＋ａｘ＋ｂ　　（４ａ^3＋２７ｂ^2≠０）の結合法則をも保証するものであって，その意味では楕円曲線論，代数曲線論における基本定理の原型となる重要な定理となっていて，代数幾何学の重要な定理と深く関わっています．

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（証）３次曲線とはｆ（ｘ，ｙ）＝０が２変数ｘ，ｙの３次あるいは３次以下の方程式で与えられた曲線

　　ａ1ｘ^3＋ａ2ｙ^3＋ａ3ｘｙ^2＋ａ4ｘ^2ｙ＋ａ5ｘ^2＋ａ6ｙ^2＋ａ7ｘｙ＋ａｘ8＋ａ9ｙ＋ａ10＝０

で，一般式の項数は１０になります．

　平面内ｎ次曲線ｆ（ｘ，ｙ）＝０の一般式の項数は，

　　3Ｈn＝n+2Ｃn＝（ｎ＋２）（ｎ＋１）／２

で計算されます．ｎ次平面代数曲線の方程式ｆ（ｘ，ｙ）＝０は，（ｎ＋１）（ｎ＋２）／２個の係数をもっていますが，ｆに定数を掛けても曲線は変わりませんから，ｎ次曲線はｎ（ｎ＋３）／２個のパラメータに依っていることになります．そこで，平面内に与えられたｎ（ｎ＋３）／２個の点（ｘi，ｙi）を通るという条件によって曲線を決定するという問題が自然に提起されます．

　すなわち，交点は勝手な配置が許されるのではなく，拘束条件を満たすように配置されるのですが，この定理の場合，円錐曲線：Ｑ（ｘ，ｙ）＝０，Ｅ1：Ｆ（ｘ，ｙ）＝０，Ｅ2＝Ｇ（ｘ，ｙ）＝０，Ｒ，Ｓを通る直線：Ｌ（ｘ，ｙ）＝０とすると，

　　Ｇ（ｘ，ｙ）＝λＦ（ｘ，ｙ）＋μＱ（ｘ，ｙ）Ｌ（ｘ，ｙ）

の形で与えられることから，Ｒ，Ｓ，Ｔが直線上に並ぶことが証明されます．

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【４】オイラーの定理

　２つの３次曲線が９点で交わっているとき，９個の交点のうち８個を通る３次曲線は残りの１点をも通る．

　オイラーの定理の重要な系がパスカルの拡張形定理「２つの３次曲線が９点で交わっているとき，９点中６点がひとつの２次曲線上にあれば，残りの３点は１直線上にある」です．一般に，２つのｎ次曲線ｆ（ｘ，ｙ）＝０とｇ（ｘ，ｙ）＝０がｎ^2個の点で交わっているとします．こられのｎ^2個の交点中，ｎ^2＋ｎ−２個の交点を通るｎ次曲線は残りのｎ−２個の点も通り，

　　ｆ（ｘ，ｙ）＋ｔｇ（ｘ，ｙ）＝０

で表されます．

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