ζ(s)=1/1^s+1/2^2+1/3^s+1/4^s+･･･

　　L(s)=1/1^s-1/3^s+1/5^s-1/7^s+･･･

　　L1(s)=1/1^s-1/3^s-1/5^s+1/7^s+･･･

　　L2(s)=1/1^s+1/3^s-1/5^s-1/7^s+･･･

と定義します．杉岡幹生氏はいろいろな工夫をして「杉岡の公式」を生み出してきました．これまでにわかっていることをもう一度整理しておきます．

　　(1)奇数ゼータと偶数Ｌは偶数ゼータの無限和として表される

　　(2)奇数Ｌ，偶数Ｌ1，奇数Ｌ2は偶数ゼータの有限和で表される

　　(3)正の奇数ゼータのみならず，負の奇数ゼータも偶数ゼータの無限和として表される

　　(4)奇数ゼータは奇数ゼータの有理数係数の無限和として表される

　　(5)偶数ゼータは偶数ゼータの有理数係数の無限和として表される

て表現できる，等々．

　Ｌ関数

　　Ｌ(s)=１／１^s−１／３^s＋１／５^s−１／７^s＋・・・

はゼータ関数の兄弟分にあたりますが，これまで，

　　Ｌ(2)＝Σ（有理数係数）ζ(2n+1)

は導出されていたのですが，杉岡氏はテイラーシステムと呼んでいる方法に微分操作を加えて

　　Ｌ(2)＝Σ（有理数係数）Ｌ(2n)

なる結果を導出しています．

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　結果だけ紹介すると

　　log3＝4{(2/3)^2（1!/2!)L(2)+(2/3)^4（3!/4!)L(4)+(2/3)^6（5!/6!)L(6)+･･･}

　　Ｌ(2)＝1/4{(2/3)^2（3!/2!)L(4)+(2/3)^4（5!/4!)L(6)+(2/3)^6（7!/6!)L(8)+･･･}Σ（有理数係数）Ｌ(2n)

　　Ｌ(4)＝1/240{(2/3)^2（5!/2!)L(6)+(2/3)^4（7!/4!)L(8)+(2/3)^6（9!/6!)L(10)+･･･}

　Ｌ(0)に相当する部分が特異点が解消されてlog3になっているところがまた麗しく感じられます．今回のコラムでは新たに拡張された結果について紹介しましたが，それについての詳細は杉岡幹生氏のＨＰ

　　http://www5b.biglobe.ne.jp/~sugi_m/page207.htm

にあります．

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