p(n)を評価する問題は数論において研究されていて，ラマヌジャンが予想した注目すべき漸近近似式

　　p(n)　〜　1/4n√(3)exp(π√(2n/3))

は，１９１８年，ハーディーとラマヌジャンによって，円周法を用いて証明が与えられています．

　これはハーディーとラマヌジャンによる重要な結果のひとつですが，その後，分割関数はラーデマッハーによって修正され，完全な明示公式

　　p(n)=1/π√(2)Σk^(1/2)Ak(n)d/dn{sinh(πλn√(2/3))/λn}

　　λn=√(n-1/24)，Ak(n)には１の２４乗根が関係する

が与えられました（１９３７年）．

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【１】ラマヌジャンの漸近近似式の精度

　ここでは，漸近近似式

　　p(n)　〜　1/4n√(3)exp(π√(2n/3))

の精度について調べてみます．

　２４３の分割の総数は

　　ｐ（２４３）＝１３３９７８２５９３４４８８８

漸近近似式では

　　ｐ（２４３）〜１３７８５９×１０^14

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【２】ラマヌジャンの予想

　δ＝５^a・７^b・１１^c，２４λ＝１　（ｍｏｄδ）のとき，

　　ｐ（ｍδ＋λ）＝０　（ｍｏｄδ）　

　しかし，この予想は正しくない．反例を掲げる．

　　δ＝７^3，２４・２４３＝１　（ｍｏｄ７^3）であるが，７^3はｐ（２４３）を割り切らない．　　　　

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