指数的減衰はどんな代数的減衰よりも速く０に近づく．たとえば，ｘ→∞のとき，裾の重みを比較してみると

　　１／（１＋ｘ^2）＞ｅｘｐ（−ｘ）＞ｅｘｐ（−ｘ^2）→０

　関数ｆ（ｘ）＝１／（１＋ｘ^2）の定義域は（−∞，∞），値域は（０，１］である．

　ここで，変数を実数から複素数に拡張してみると，定義域はすべての複素数からｚ＝±ｉを除いたもの，値域はすべての複素数に拡がる．

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［１］ピカールの小定理

　定数でない関数の定義域が複素平面全体であって，すべての点で微分可能であるならば，値域は複素平面全体から高々１点を除いたものになる．

　たとえば，ｅｘｐ（ｚ）の値域は複素平面全体から０を除いたものになる．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　関数ｆ（ｚ）＝ｓｉｎｚ／ｚはｚ＝０では定義されないが，ｚ→０のとき，ｆ（ｚ）→１．このような特異点を除去可能特異点と呼ぶ．

　関数ｆ（ｚ）＝１／ｚはｚ＝０では定義されないが，ｚ→０のとき，ｆ（ｚ）は収束しない．このような特異点を１位の極と呼ぶ．一般に（ｚ−ｚ0）^mｆ（ｚ）が定義されるか除去可能特異点のとき，ｍ位の極と呼ぶ．

　極にもなりえないほど強い特異点を真性特異点と呼ぶ．たとえば，ｅｘｐ（１／ｚ）におけるｚ＝０はその１例である．

［２］ピカールの大定理

　ｚ＝ｚ0を真性特異点とする．ｚ0を中心とする穴のあいた円板を定義域とすると，値域は複素平面全体から高々１点を除いたものになる．

　たとえば，ｅｘｐ（１／ｚ）の場合，円板をいくら小さくしたとしても，０だけは値域に含まれないが，それ以外の複素数はどても値域に含まれるのである．

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［まとめ］ピカールの定理

　ｚが正則関数ｆ（ｚ）の真性特異点であれば，円環０＜｜ｚ｜＜εのｆによる像は，高々１点を除いた複素平面全体になる．

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