■ソーセージ予想(その6)
[1]2nSn-1=2n(n−1)Vn-1
[2]Vn-1(1/2−δ/2π)・n(n+1)(n−1)
δ=cos(1/n)
[3]2^(n-1)/2(n+1)√n/(n−1)!
まだ,おかしいところがある.n=2のとき,[2]は頂点まわりとなるので,[2]=0とする.他にもプログラムの間違いがあったので修正.
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n=2〜9まで調べたが,n≧5のとき,[1]<[2]+[3]が成り立った.
n [1] [2]+[3]
2 8 6
3 37.6991 33.2878
4 100.531 91.6212
5 197.392 205.955
6 315.827 380.014
7 434.087 594.875
8 529.173 814.660
9 584.453 998.919
[3]は急激に小さくなる.[1],[2]だけ大小比較しても,n≧5のとき,[1]<[2]が成り立った.
n [1] [2] [3]
2 8 0 6
3 37.6991 25.3596 6.92820
4 100.531 86.9071 4.71404
5 197.392 203.719 2.23607
6 315.827 379.206 .808290
7 434.087 594.640 .235178
8 529.173 814.603 .0571429
9 584.453 998.907 .0119048
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[まとめ]
このことから,ソーセージ予想「n≧5のとき,n次元球を配置して,その凸包の体積を最小にするには,直線状に並べるの最善配置である」が生まれたと思われる.
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