ここでは，Ｓnをｎ次元における半径１の球面と定義しています．

［１］ｍ連のソーセージの表面積は，

　　ｎ−１次元球の表面積・２（ｍ−１）＋ｎ次元球の表面積＝２（ｍ−１）Ｓn-1＋Ｓn

体積は

　　ｎ−１次元球の体積・２（ｍ−１）＋ｎ次元球の体積＝２（ｍ−１）Ｖn-1＋Ｖn

で与えられる．

　ｍ＝ｎ＋１のとき，ソーセージ状配置では

　　Ｓ＝２（ｍ−１）Ｓn-1＋Ｓn＝２ｎＳn-1＋Ｓn

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［２］つぎに，ｍ＝ｎ＋１個の単位球を単体状に配置します．

　すると，各ファセットには１辺の長さ２のｎ−１次元単体ができます．その体積は

　　２^n-1√ｎ／２^(n-1)/2（ｎ−１）！＝２^(n-1)/2√ｎ／（ｎ−１）！

　これが，ｎ＋１個できるわけですから，表面積は

　　２^(n-1)/2（ｎ＋１）√ｎ／（ｎ−１）！＋ｎ−１次元球の表面積・ｎ（ｎ＋１）／２＋ｎ次元球の表面積

＝２^(n-1)/2（ｎ＋１）√ｎ／（ｎ−１）！＋ｎ（ｎ＋１）Ｓn-1／２＋Ｓn

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　もし，ｎ＋１個の単体状に配置した球の外接球（内接球）の半径ｒを求めたいのであれば，ｃ＝１／ｒとして，デカルトの公式より

　　（ｎ＋１）＋ｃ^2＝１／ｎ｛ｎ＋１＋ｃ）^2

　　ｎ（ｎ＋１）＋ｎｃ^2＝｛ｎ＋１＋ｃ）^2

＝（ｎ＋１）^2＋２（ｎ＋１）ｃ＋ｃ^2

　　（ｎ−１）ｃ^2−２（ｎ＋１）ｃ−（ｎ＋１）＝０

　　ｃ＝｛（ｎ＋１）±｛（ｎ＋１）^2＋（ｎ−１）（ｎ＋１）｝^1/2｝／（ｎ−１）

＝｛（ｎ＋１）±｛２ｎ（ｎ＋１）｝^1/2｝／（ｎ−１）

＋：外接球，−：内接球

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［まとめ］

［１］ソーセージ状配置では

　　Ｓ＝２（ｍ−１）Ｓn-1＋Ｓn＝２ｎＳn-1＋Ｓn

［２］単体状配置では

　　Ｓ＝２^(n-1)/2（ｎ＋１）√ｎ／（ｎ−１）！＋ｎ（ｎ＋１）Ｓn-1／２＋Ｓn

　ただし，Ｓnをｎ次元における半径１の球面と定義しています．

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