【１】ゴールドバッハの公式

　　｛ａn｝＝｛１，４，８，９，１６，２５，２７，３２，３６，・・・｝

＝｛１^2，１^3，・・，，２^2，２^3，・・，３^2，３^3，・・，４^2，４^3，・・｝

　　Σ１／（ａn−１）＝Σ１／（２^k−１）＋Σ１／（３^k−１）＋・・・

　　Σ１／（ａn＋１）＝Σ１／（２^k＋１）＋Σ１／（３^k＋１）＋・・・

　　（ｋ≧２）

　これから，

　　Σ１／（ａn−１）＝１　　（ｎ≧２）

　　Σ１／（ａn＋１）＝π^2／３−５／２　　（ｎ≧２）

を証明できるだろうか？

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　ここでは

　　Σ１／（ａn−１）＝Σ１／（２^2−１）＋Σ１／（３^2−１）＋・・・Σ１／（２^3−１）＋Σ１／（３^3−１）＋・・・

としてみる．

Σ１／（ｋ^2−１）＝１／２・Σ｛１／（ｋ−１）−１／（ｋ＋１）｝

＝１／２「１−１／３＋１／２−１／４＋１／３−１／５＋１／４−１／６＋・・・｝

Σ１／（ｋ^3−１）＝Σ１／（ｋ^2＋２）｛１／（ｋ−１）−１／（ｋ^2＋ｋ＋１）｝

Σ１／（ｋ^4−１）＝１／２Σ｛１／（ｋ^2−１）−１／（ｋ^2＋１）｝

Σ１／（ｋ^5−１）＝Σ１／（ｋ^4＋ｋ^3＋ｋ^2＋２）｛１／（ｋ−１）−１／（ｋ^4＋ｋ^3＋ｋ^2＋ｋ＋１）｝

　うまくキャンセルアウトしてくれそうにない．

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