今回のコラムではＱの円分拡大のガロア理論を用いて，

［Ｑ］角δがｃｏｓδ＝１／３を満たすならば，δはπの有理数倍ではない

ことを証明する．

　　［参］Hartshorne "Geometry: Euclid and Beyond", Springer-Verlag

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【１】円分体

　円周のｎ分の１の角をα＝２π／ｎとするとき，

　　ζ＝ｅｘｐ（αｉ）＝ｃｏｓα＋ｉｓｉｎα

は１のｎ乗根である．１，ζ，ζ^2，・・・，ζ^(n-1)のなかで，（ｄ，ｎ）＝１となるζ^dを１の原始ｎ乗根とよぶ．

　また，

　　Φn（ｘ）＝Π（ｘ−ζ^d）＝（ｘ^n−１）／ΠΦd（ｘ）

はｎ次の円分多項式とよばれる．その次数はオイラーのφ関数

　　φ（ｎ）＝＃｛１≦ｄ＜ｎ，（ｄ，ｎ）≠１｝

で与えられる．

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【２】円分拡大のガロア理論

　体Ｑ（ζ）はＱ上ｎ次の円分拡大と呼ばれ，

　　ζ＝ｅｘｐ（αｉ）＝ｃｏｓα＋ｉｓｉｎα

で生成される．それはＱ上，次数φ（ｎ）をもち，そのガロア群はＺnと同型である．とくにｎが素数ｐのとき，次数ｐ−１をもち，そのガロア群はＺpと同型の位数ｐ−１の巡回群である．

る．

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【３】正四面体の場合

　　ｃｏｓδ＝１／３，ｓｉｎδ＝√８／３

であるから

　　ｚ＝ｃｏｓδ＋ｉｓｉｎδ＝１／３＋ｉ√８／３

を考える．

　　ｚ−１／３＝ｉ√８／３

より，ｚは２次方程式３ｚ^2−２ｚ＋３＝０の解である．それゆえ，ｚはＱ上の２次拡大体Ｑ（ｚ）＝Ｑ（−√２）を生成する．

　δがπの有理数倍ならは，

　　δ＝ｐ／ｑ・２π　　　（ｐ，ｑ）＝１

と書ける．ｚは１のｑ乗根となるから，円分多項式Φq（ｚ）の次数はφ（ｑ）＝２となる．

　もし，ｑ＝ｐ1^e1ｐ2^e2・・・ｐd^edと素因数分解されるならば

　　φ（ｑ）＝Πｐi^ei-1（ｐi−１）

であるから，φ（ｑ）＝２を与えるｑはｑ＝３，４，６のみで，これらに対応する拡大体はＱ（√−３）とＱ（ｉ）である．

　どちらもＱ（√−２）と異なるので矛盾，したがって，δはπの有理数倍ではない．

　正八面体→Ｑ（√−２）

　正十二面体→Ｑ（√−５）

　正二十面体→Ｑ（√−５）

の場合も同様に，δはπの有理数倍ではない．

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【４】雑感

　（その７）より概念的な証明になっていることがみてとれたであろうと思う．ところで，Ｑ（√２），Ｑ（√３）はＱ上の２次拡大体であるが，Ｑ（√２，√３）はＱ上，次数４の拡大であり，基底として元１，√２，√３，√６をとることができる．いいかえれば，Ｑ（√２，√３）体のどの元も

　　ａ＋ｂ√２＋ｃ√３＋ｄ√６

の形にただ１通りに書ける．

　　［秋山の定理：２００９］正多面体の元素数は≧４である．

の場合，Ｑ上の４次拡大体Ｑ（√−２，√−５）に対して，

　　Ｎ1δ4＋Ｎ2δ12＋Ｎ3δ20≠０　　（ｍｏｄ　π）

を証明しなければならないのである．

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