双子素数予想とは，無限に多くの双子素数（ｐ，ｐ＋２）があるかどうかを問うものである．最近になって進展が見られた．

　２０１３年５月，張益唐はある定数Ｎ＜７０００００００が存在して，

　　ｐ−ｑ＜Ｎ

となる素数の対（ｐ，ｑ）が無限に存在することを示したのである．

　もちろん，Ｎ＝２であってくれればよいのであるが，これが引き金になって，現在ではＮ＝２４６まで引き下げられている．

　また，同じく２０１３年には，５以上のずべての奇数は３つの素数の和として表せるという弱ゴールドバッハ予想も証明されている．

　強ゴールドバッハ予想「２より大きいすべての偶数は２つの素数の和として表せる」はまだ証明されていないが，現在，すべての偶数はたかだか５つの素数の和として表せることが示されている．また，十分に大きいすべての偶数は，素数と半素数の和として表せるという陳景潤の定理もある．

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