【１】ブラーマグプタの恒等式

　　（ｘ1^2−Ｎｙ1^2）（ｘ2^2−Ｎｙ2^2）＝（ｘ1ｘ2＋Ｎｙ1ｙ2）^2−Ｎ（ｘ1ｙ2＋ｘ2ｙ1）^2

に，ｘ1＝ｘ2＝ｘ，ｙ1＝ｙ2＝ｙ

を代入すると

　　（ｘ^2−Ｎｙ^2）^2＝（ｘ^2＋Ｎｙ^2）^2−４Ｎ（ｘｙ）^2

　　｛（ｘ^2−Ｎｙ^2）／２｝^2＝｛（ｘ^2＋Ｎｙ^2）／２｝^2−Ｎ（ｘｙ）^2

　　１＝｛（ｘ^2＋Ｎｙ^2）／（ｘ^2−Ｎｙ^2）｝^2−Ｎ（２ｘｙ／（ｘ^2−Ｎｙ^2））^2

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【２】Speckmann-Ricaldeの恒等式

　　（ｋ^2ｍ±１）^2−（ｋ^2ｍ^2±２ｍ）ｋ^2＝１

　　（Ｎｍ±１）^2−（Ｎｍ^2±２ｍ）Ｎ＝１

　すると，対応関係は

Ｎｍ±１←→（ｘ^2＋Ｎｙ^2）／（ｘ^2−Ｎｙ^2）

←→Ｎｙ^2／（ｘ^2−Ｎｙ^2）＋ｘ^2／（ｘ^2−Ｎｙ^2）

ｍ←→ｙ^2／（ｘ^2−Ｎｙ^2）

±１←→ｘ^2／（ｘ^2−Ｎｙ^2）

Ｎｍ^2±２ｍ←→｛２ｘｙ／（ｘ^2−Ｎｙ^2）｝^2

に代入すると

Ｎｙ^4／（ｘ^2−Ｎｙ^2）^2＋２ｘ^2ｙ^2／（ｘ^2−Ｎｙ^2）^2

　しかし，これではうまくいかないから

Ｎ←→ｋ^2ｍ^2＋２ｍ

ｋ^2ｍ＋１←→（ｘ^2＋Ｎｙ^2）／（ｘ^2−Ｎｙ^2）

←→２Ｎｙ^2／（ｘ^2−Ｎｙ^2）＋１

ｋ^2←→｛２ｘｙ／（ｘ^2−Ｎｙ^2）｝^2

とする．

ｋ^2←→｛２ｘｙ／（ｘ^2−Ｎｙ^2）｝^2

ｋ^2ｍ←→２Ｎｙ^2／（ｘ^2−Ｎｙ^2）

ｍ←→Ｎ（ｘ^2−Ｎｙ^2）／２ｘ^2

あとは

Ｎ←→ｋ^2ｍ^2＋２ｍ

が成り立つかどうかである．

ｋ^2ｍ^2＋２ｍ

←→Ｎ^2ｙ^2／ｘ^2＋Ｎ（ｘ^2−Ｎｙ^2）／ｘ^2

←→Ｎ

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［まとめ］やっとブラーマグプタの恒等式とSpeckmann-Ricaldeの恒等式の対応がついたことになる．

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