ブラーマグプタの恒等式

　　（ｘ1^2−Ｎｙ1^2）（ｘ2^2−Ｎｙ2^2）＝（ｘ1ｘ2＋Ｎｙ1ｙ2）^2−Ｎ（ｘ1ｙ2＋ｘ2ｙ1）^2

と，Speckmann-Ricaldeの恒等式

　　（ｋ^2ｍ±１）^2−（ｋ^2ｍ^2±２ｍ）ｋ^2＝１

の関係がわかりにくい．

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　（ｘ1^2−Ｎｙ1^2）（ｘ2^2−Ｎｙ2^2）＝１のとき，

　（ｘ1^2−Ｎｙ1^2）＝±１，（ｘ2^2−Ｎｙ2^2）＝±１

　　Ｎ＝（ｘ1^2±１）／ｙ1^2＝（ｘ2^2±１）／ｙ2^2

＝（ｘ1^2±１）^1/2（ｘ2^2±１）^1/2／ｙ1ｙ2

　　ｘ1^2ｙ2^2±ｙ2^2＝ｘ2^2ｙ1^2±ｙ1^2

　　ｘ1^2ｙ2^2−ｘ2^2ｙ1^2＝±（ｙ1^2−ｙ2^2）

であるが，

　　（ｘ2^2−Ｎｙ2^2）＝ε^n（ｘ1^2−Ｎｙ1^2）

も成り立つ．

　一方，

　　（ｋ^2ｍ＋１）^2−（ｋ^2ｍ^2＋２ｍ）ｋ^2＝１

ｋ^2ｍ^2＋２ｍ＝Ｎとおくと，

ｋ^2＝（Ｎ−２ｍ）／ｍ^2

ｋ^2ｍ＋１＝（Ｎ−２ｍ）／ｍ＋１＝Ｎ／ｍ−１

（Ｎ／ｍ−１）^2−Ｎ（Ｎ−２ｍ）／ｍ^2＝１

　　（ｋ^2ｍ−１）^2−（ｋ^2ｍ^2−２ｍ）ｋ^2＝１

ｋ^2ｍ^2−２ｍ＝Ｎとおくと，

ｋ^2＝（Ｎ＋２ｍ）／ｍ^2

ｋ^2ｍ−１＝（Ｎ＋２ｍ）／ｍ−１１＝Ｎ／ｍ＋１

（Ｎ／ｍ＋１）^2−Ｎ（Ｎ＋２ｍ）／ｍ^2＝１

（Ｎ／ｍ±１）^2−Ｎ（Ｎ±２ｍ）／ｍ^2＝１

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［まとめ］両者は異なる恒等式に思えるのだが・・・

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