［ｂ］ｍ＝１（ｍｏｄ４）のとき

　基本単数を

　　ε＝（ａ＋ｂ√ｍ）／２　　　ａ＝ｂ（ｍｏｄ２）

と書けば

　　ａ^2−ｍｂ^2＝±４

となること以外は前と同様です．

　Ｑ（√５），Ｑ（√１３）の基本単数を求めると，それぞれ，

　　ｘ^2−５ｙ^2＝±４，複号は−４で（１，１）が最小→ε＝（１＋√５）／２

　　ｘ^2−１３ｙ^2＝±４，複号は−４で（３，１）が最小→ε＝（３＋√１３）／２

13　　３^2−１３・１^2＝−４　　　　　　（３＋√１３）／２　　　　−１

　　複号は＋４で（１１，３）が最小

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　√１３の最良近似では

　　｛（３＋√１３）／２｝^n＝ａn＋ｂn√１３

　　｛（３−√１３）／２｝^n＝ａn−ｂn√１３

　　ａn+1＋ｂn+1√１３＝（３＋√１３）／２（ａn＋ｂn√１３）

　　　　　　　　　　＝（３ａn＋１３ｂn）／２＋√１３（ａn＋３ｂn）／２

より

　　ａn+1＝（３ａn＋１３ｂn）／２

　　ｂn+1＝（ａn＋３ｂn）／２

　　ａn+1＝（３ａn＋１３ｂn）／２＝３ａn／２＋１３（ａn-1＋３ｂn-1）／２

　＝３ａn／２＋２ａn-1＋３（３ａn-1＋１３ｂn-1）／２＝３ａn＋２ａn-1

　　ｂn+1＝（ａn＋３ｂn）／２＝（３ａn-1＋１３ｂn-1）／２＋３ｂn／２

　＝３（ａn-1＋３ｂn-1）／２＋３ｂn／２＋２ｂn-1＝３ｂn＋２ｂn-1

より

　　ａn+1＝３ａn＋２ａn-1，ｂn+1＝３ｂn＋２ｂn-1

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　α，βを２次方程式ｘ^2−３ｘ−２＝０の根はα＝３とβ＝−１

初期値をａ1＝３，ａ2＝１１，ｂ1＝１，ｂ2＝３とすると

　　ａn＝｛α^n-1（ａ2−βａ1）−β^n-1（ａ2−αａ1）｝／（α−β）

＝｛α^n-1（１４）−β^n-1（２）｝／４

ｎ＝１：ａ1＝３

ｎ＝２：ａ2＝１１

　　ｂn＝｛α^n-1（ｂ2−βｂ1）−β^n-1（ｂ2−αｂ1）｝／（α−β）

＝｛α^n-1（４）＋β^n-1（０）｝／４

ｎ＝１：ｂ1＝１

ｎ＝２：ｂ2＝３

となります．

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