√３の最良近似では

　　（２＋√３）^n＝ａn＋ｂn√３

　　（２−√３）^n＝ａn−ｂn√３

　　ａn+1＋√２ｂn+1＝（２＋√３）（ａn＋√３ｂn）

　　　　　　　　　　＝（２ａn＋３ｂn）＋√３（ａn＋２ｂn）

より

　　ａn+1＝２ａn＋３ｂn

　　ｂn+1＝ａn＋２ｂn

　　ａn+1＝２ａn＋３ｂn＝２ａn＋３（ａn-1＋２ｂn-1）

　＝２ａn−ａn-1＋２（２ａn-1＋３ｂn-1）＝４ａn−ａn-1

　　ｂn+1＝ａn＋２ｂn＝（２ａn-1＋３ｂn-1）＋２ｂn

　＝２（ａn-1＋２ｂn-1）＋２ｂn−ｂn-1＝４ｂn−ｂn-1

より

　　ａn+1＝４ａn−ａn-1，ｂn+1＝４ｂn−ｂn-1

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　α，βを２次方程式ｘ^2−４ｘ＋１＝０の根２±√３として，初期値をａ1＝１，ａ2＝２，ａ3＝７，ｂ1＝０，ｂ2＝１，ｂ3＝４とすると

α＝２＋√３，β＝２−√３

ａ0＝２，ａ1＝１

ｂ0＝−１，ｂ1＝１

　　ａn＝｛α^n（ａ1−βａ0）−β^n（ａ1−αａ0）｝／（α−β）

＝｛α^n（−３＋２√３）−β^n（−３−２√３）｝／２√３

　　ｂn＝｛α^n（ｂ1−βｂ0）−β^n（ｂ1−αｂ0）｝／（α−β）

＝｛α^n（３−√３）−β^n（３＋√３）｝／２√３

となります．

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