ｔn+1＋√２ｕn+1＝（１＋√２）（ｔn＋√２ｕn）

　　　　　　　　　　＝（ｔn＋２ｕn）＋√２（ｔn＋ｕn）

より

　　ｔn+1＝ｔn＋２ｕn

　　ｕn+1＝ｔn＋ｕn

　　ｃn ＝［ｔn，ｕn］’　　　Ａ＝［ａ，ｂ］＝［１，２］

　　　　　　　　　　　　　　　　　［ｃ，ｄ］　［１，１］

とおくと，ｃn+1＝Ａｃn，ｃn+2＝Ａｃn+1＝Ａ^2ｃn

　ここで，ケーリー・ハミルトン方程式

　　Ａ^2＝（ｔｒＡ）Ａ−（ｄｅｔＡ）Ｉ

より

　　ｃn+2 ＝Ａ^2ｃn＝（ｔｒＡ）Ａｃn−（ｄｅｔＡ）Ｉｃn

　　　　　＝（ｔｒＡ）ｃn+1−（ｄｅｔＡ）ｃn

　　　　　＝（ａ＋ｄ）ｃn+1−（ａｄ−ｂｃ）ｃn

　　　　　＝２ｃn+1＋ｃn

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　　ａn+1＝ａn＋２ｂn，ｂn+1＝ａn＋ｂn

　　ａn+1＝ａn＋２ｂn＝ａn＋２（ａn-1＋ｂn-1）

　＝ａn＋ａn-1＋（ａn-1＋２ｂn-1）＝２ａn＋ａn-1

　　ｂn+1＝ａn＋ｂn＝（ａn-1＋２ｂn-1）＋ｂn

　＝（ａn-1＋ｂn-1）＋ｂn＋ｂn-1＝２ｂn＋ｂn-1

より

　　ａn+1＝２ａn＋ａn-1，ｂn+1＝２ｂn＋ｂn-1

同じ特性方程式が得られた．

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　α，βを２次方程式ｘ^2−２ｘ−１＝０の根１±√２として，

　　ａn+1−αａn＝β（ａn−αａn-1）＝β^2（ａn-1−αａn-2）＝・・・＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）

α，βを入れ替えると

　　ａn+1−βａn＝α^(n-1)（ａ2−βａ1）＝α^n（ａ1−βａ0）

　　ａn+1−αａn＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）＝β^n（ａ1−αａ0）

　したがって，整数列｛ａn｝の一般項は

　　ａn＝｛α^n（ａ1−βａ0）−β^n（ａ1−αａ0）｝／（α−β）

α＝１＋√２，β＝１−√２，初期値をａ1＝１，ａ2＝１とすると

　　ａn＝１／２｛（１＋√２）^n＋（１−√２）^n｝

　整数列｛ｂn｝でも同じ漸化式ですから，同じ一般項になります．

　　ｂn＝｛α^n（ｂ1−βｂ0）−β^n（ｂ1−αｂ0）｝／（α−β）

初期値をｂ0＝０，ｂ1＝１とすると

　　ｂn＝１／２√２｛（１＋√２）^n−（１−√２）^n｝

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