（その４７）の続き．

　　ｔn＋√２ｕn＝（１＋√２）^n

　　ｘn＋√２ｙn＝（１＋√２）^2n＝（３＋２√２）^n

　　ｒn＋√２ｓn＝（１＋√２）^2n-1＝（１＋√２）（３＋２√２）^n-1

で与えられます．

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　　ｘn+1＋√２ｙn+1＝（３＋２√２）（ｘn＋√２ｙn）

　　　　　　　　　　＝（３ｘn＋４ｙn）＋√２（２ｘn＋３ｙn）

より

　　ｘn+1＝３ｘn＋４ｙn

　　ｙn+1＝２ｘn＋３ｙn

　　ｃn ＝［ｘn，ｙn］’　　　Ａ＝［ａ，ｂ］＝［３，４］

　　　　　　　　　　　　　　　　　［ｃ，ｄ］　［２，３］

とおくと，ｃn+1＝Ａｃn，ｃn+2＝Ａｃn+1＝Ａ^2ｃn

　ここで，ケーリー・ハミルトン方程式

　　Ａ^2＝（ｔｒＡ）Ａ−（ｄｅｔＡ）Ｉ

より

　　ｃn+2 ＝Ａ^2ｃn＝（ｔｒＡ）Ａｃn−（ｄｅｔＡ）Ｉｃn

　　　　　＝（ｔｒＡ）ｃn+1−（ｄｅｔＡ）ｃn

　　　　　＝（ａ＋ｄ）ｃn+1−（ａｄ−ｂｃ）ｃn

　　　　　＝６ｃn+1−ｃn

　　ｃn+2 ＝６ｃn+1−ｃn

　　α＝３＋２√２，β＝３−２√２

　　ｘn ＝１／２（α^n＋β^n）

　　ｙn ＝１／２√２（α^n−β^n）

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　　ｒn+1＋√２ｓn+1＝（３＋２√２）（ｒn＋√２ｓn）

　　　　　　　　　　＝（３ｒn＋４ｓn）＋√２（２ｒn＋３ｓn）

より

　　ｒn+1＝３ｒn＋４ｓn

　　ｓn+1＝２ｒn＋３ｓn

　　ｃn+2 ＝６ｃn+1−ｃn

　　α＝３＋２√２，β＝３−２√２

　　ｘn ＝１／２（α^n＋β^n）

　　ｙn ＝１／２√２（α^n−β^n）

であったが，これとは初期値が異なる．

　　（ｒ0，ｓ0）＝（−１，１）

　　（ｒ1，ｓ1）＝（１，１）

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［まとめ］これでペル方程式と特性方程式の関係が明らかになった．続きは次回の宿題としたい．

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