Ｑ（√２），Ｑ（√３），Ｑ（√６），Ｑ（√７）の基本単数を求めると，それぞれ，

　　ｘ^2－２ｙ^2＝±１，複号は－１で（１，１）が最小→ε＝１＋√２

　　ｘ^2－３ｙ^2＝±１，複号は＋１で（２，１）が最小→ε＝２＋√３

　　ｘ^2－６ｙ^2＝±１，複号は＋１で（５，２）が最小→ε＝５＋２√６

　　ｘ^2－７ｙ^2＝±１，複号は＋１で（８，３）が最小→ε＝８＋３√７

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【１】ノルム－１

　Ｑ（√２）ではε＝１＋√２が基本単数ですが，その他の解は

　　（１＋√２）^n＝ａn＋ｂn√２

とおいて

　　ｎ＝１：１^2－２・１^2＝－１

　　ｎ＝２：３^2－２・２^2＝＋１

　　ｎ＝３：７^2－２・５^2＝－１

　　ｎ＝４：１７^2－２・１２^2＝＋１

　　ｎ＝５：４１^2－２・２９^2＝－１

　　ｎ＝６：９９^2－２・７０^2＝＋１

　　ｎ＝７：２３９^2－２・１６９^2＝－１

　　ｎ＝８：５７７^2－２・４０８^2＝＋１

　　ｎ＝９：１３９３^2－２・９８５^2＝－１

　　ｎ＝10：３３６３^2－２・２３７８^2＝＋１

一般に，

　　ａn^2－２ｂn^2＝（－１）^n

となります．

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【２】ノルム＋１

　Ｑ（√３）ではε＝２＋√３が基本単数で，

　　ｎ＝１：２^2－３・１^2＝＋１

　　ｎ＝２：７^2－３・４^2＝＋１

　　ｎ＝３：２６^2－３・１５^2＝＋１

　　ｎ＝４：９７^2－３・５６^2＝＋１

　　ｎ＝５：３６２^2－３・２０９^2＝＋１

　　ｎ＝６：１３５１^2－３・７８０^2＝＋１

　　ｎ＝７：５０４２^2－３・２９１１^2＝＋１

　　ｎ＝８：１８８１７^2－３・１０８６４^2＝＋１

　　ｎ＝９：７０２２６^2－３・４０５４５^2＝＋１

　　ｎ＝10：２６２０８７^2－３・１５１３１６^2＝＋１

一般に，ａn^2－２ｂn^2＝１でａn^2－２ｂn^2＝－１となる解は存在しません．

　この２つの例からわかるように，基本単数εのノルムが－１のときには

　　ｘ^2－ｍｙ^2＝＋１

と

　　ｘ^2－ｍｙ^2＝－１

はどちらも無数の解をもちますが，εのノルムが＋１のときには解はすべて前者の解であって，後者は解をもちません．

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