Ｑ（√２），Ｑ（√３），Ｑ（√６），Ｑ（√７）の基本単数を求めると，それぞれ，

　　ｘ^2−２ｙ^2＝±１，複号は−１で（１，１）が最小→ε＝１＋√２

　　ｘ^2−３ｙ^2＝±１，複号は＋１で（２，１）が最小→ε＝２＋√３

　　ｘ^2−６ｙ^2＝±１，複号は＋１で（５，２）が最小→ε＝５＋２√６

　　ｘ^2−７ｙ^2＝±１，複号は＋１で（８，３）が最小→ε＝８＋３√７

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【１】ノルム−１

　Ｑ（√２）ではε＝１＋√２が基本単数ですが，その他の解は

　　（１＋√２）^n＝ａn＋ｂn√２

とおいて

　　ｎ＝１：１^2−２・１^2＝−１

　　ｎ＝２：３^2−２・２^2＝＋１

　　ｎ＝３：７^2−２・５^2＝−１

　　ｎ＝４：１７^2−２・１２^2＝＋１

　　ｎ＝５：４１^2−２・２９^2＝−１

　　ｎ＝６：９９^2−２・７０^2＝＋１

　　ｎ＝７：２３９^2−２・１６９^2＝−１

　　ｎ＝８：５７７^2−２・４０８^2＝＋１

　　ｎ＝９：１３９３^2−２・９８５^2＝−１

　　ｎ＝10：３３６３^2−２・２３７８^2＝＋１

一般に，

　　ａn^2−２ｂn^2＝（−１）^n

となります．

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【２】ノルム＋１

　Ｑ（√３）ではε＝２＋√３が基本単数で，

　　ｎ＝１：２^2−３・１^2＝＋１

　　ｎ＝２：７^2−３・４^2＝＋１

　　ｎ＝３：２６^2−３・１５^2＝＋１

　　ｎ＝４：９７^2−３・５６^2＝＋１

　　ｎ＝５：３６２^2−３・２０９^2＝＋１

　　ｎ＝６：１３５１^2−３・７８０^2＝＋１

　　ｎ＝７：５０４２^2−３・２９１１^2＝＋１

　　ｎ＝８：１８８１７^2−３・１０８６４^2＝＋１

　　ｎ＝９：７０２２６^2−３・４０５４５^2＝＋１

　　ｎ＝10：２６２０８７^2−３・１５１３１６^2＝＋１

一般に，ａn^2−２ｂn^2＝１でａn^2−２ｂn^2＝−１となる解は存在しません．

　この２つの例からわかるように，基本単数εのノルムが−１のときには

　　ｘ^2−ｍｙ^2＝＋１

と

　　ｘ^2−ｍｙ^2＝−１

はどちらも無数の解をもちますが，εのノルムが＋１のときには解はすべて前者の解であって，後者は解をもちません．

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