Ｑ（√２）ではε＝１＋√２が基本単数ですが，その他の解は

　　（１＋√２）^n＝ａn＋ｂn√２

により与えられます．

　　（１＋√２）（１−√２）＝−１

　　（１＋√２）^2（１−√２）^2＝１

　　（１＋√２）^3（１−√２）^3＝−１

　　（１＋√２）^4（１−√２）^4＝１

より，ｘ^2−２ｙ^2＝±１の解を（ｔn，ｕn），

　　　ｘ^2−２ｙ^2＝１の解を（ｘn，ｙn），

　　　ｘ^2−２ｙ^2＝−１の解を（ｒn，ｓn）

とおくと

　　ｔn＋√２ｕn＝（１＋√２）^n

　　ｘn＋√２ｙn＝（１＋√２）^2n（３＋２√２）^n

　　ｒn＋√２ｓn＝（１＋√２）^2n-1＝（１＋√２）（３＋２√２）^n-1

で与えられます．

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　　ｙ^2−８ｘ^2＝ｙ^2−２（２ｘ）^2＝１＝ｐ^2−２ｑ^2

　　α＝３＋２√２，β＝３−２√２

　　ｘn ＝１／２（α^n＋β^n）

　　ｙn ＝１／２√２（α^n−β^n）

　　ｐ＝１／２（α^n＋β^n）

と

１／３２｛（１７＋１２√２）^n＋（１７−１２√２）^n−２｝

に食い違いがあるように見えるが，ｘ^2−２ｙ^2＝１において，

（３＋２√２）^n

ｎ＝１：（３，２）

ｎ＝２：（１７，１２）

ｎ＝３：（９９，７０）

ｎ＝４：（５７７，４０８）

ｎ＝５：（３３６３，２３７８）

となっているというわけである．

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　　ｘ^2−２ｙ^2＝−１

では

（１＋√２）（３＋２√２）^n-1

ｎ＝１：（１，１）

ｎ＝２：（７，５）

ｎ＝３：（４１，２９）

ｎ＝４：（２３９，１６９）

ｎ＝５：（１３９３，９８５）

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　　ｘ^2−２ｙ^2＝±１

では

（１＋√２）^n

ｎ＝１：（１，１）

ｎ＝２：（３，２）

ｎ＝３：（７，５）

ｎ＝４：（１７，１２）

ｎ＝５：（４１，２９）

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