数には整数，分数，根号数，超越数の種類があり，整数，有理数，代数的数，実数という階層をなしています．整数，分数，根号数は数直線のうちのほんのわずかな部分を占めるにすぎません．数直線上の数の大部分を占めるのはπやｅなどの超越数です．超越数の集合の大きさはルベーグ測度１であり，実数から無作為にひとつ数を選ぶとしたら，それは超越数なのです．
今日に至るまで，オイラーの定数γの値は有理数とも無理数ともわかっていません．おそらく超越数なのでしょうが，先日，佐藤洸風さんから
［参］Havil著，新妻弘監訳「オイラーの定数ガンマ」共立出版
を献本していただきました．
原著は一般書として出版され，アメリカではベストセラーになった経緯があるそうです．ガンマを軸にしながら数学の話題をこれでもかと詰め込んだような印象を受けましたが，今回のコラムではお礼の意味もあって，コラム「無理数・代数的数・超越数（その９）」を補完してみたいと思います．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【１】オイラーの定数
Ｈn ＝１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ
と定義します．（ｎ＞１ならばＨn は整数にはなりません．）
ｎを無限大にしたとき，調和級数
Ｈ∞＝１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・
は発散しますが，そのｎ次部分和Ｈnは離散的な世界で連続関数ｌｎｎに対応するものであり，自然対数は双曲線ｙ＝１／ｘの下の面積として定義できます．
したがって，双曲線ｙ＝１／ｘを上と下から棒グラフではさんで近似することにより，ｌｏｇｎとｌｏｇｎ＋１の間に押し込まれまれることがわかります（∵∫１／ｘｄｘ＝ｌｏｇｘ）．
Ｈn とｌｏｇｎの比｛Ｈn ／ｌｏｇｎ｝は
Ｈn ／ｌｏｇｎ→１ （ｎ→∞）
です．一方，Ｈn とｌｏｇｎの差｛Ｈn −ｌｏｇｎ｝は確定した極限値γに収束します．
Ｈn ＝ｌｏｇｎ＋γ＋ｏ（１）
Ｈn −ｌｏｇｎ→γ （ｎ→∞：Ｈn ＝ｌｏｇｎ＋γ＋Ｏ（１／ｎ））
この極限値はオイラーの定数として知られており，約０．５７７２２になります．オイラーの定数の比較的よい近似値は４／７で，さらによい近似値は４１／７１で与えられます．
Ｈn は上限と下限の間の約５８％のところにあることがわかりましたが，オイラーの定数γを極限値ｌｉｍ（Σ１／ｋ−ｌｎｎ）を直接計算するのは収束が遅くて非効率的です．そこで，
ｌｏｇ（１＋ｘ）＝ｘ−ｘ^2／２＋ｘ^3／３−ｘ^4／４＋・・・
ｌｏｇ（１＋１／ｘ）＝１／ｘ−１／（２ｘ^2）＋１／（３ｘ^3）−１／（４ｘ^4）＋・・・
より
ｌｏｇΓ（１＋ｓ）＝−γｓ＋ζ（２）／２ｓ^2−ζ（３）／３ｓ^3＋・・・
これを用いると
γ＝ζ（２）／２−ζ（３）／３＋ζ（４）／４−ζ（５）／５＋・・・
あるいは
γ＝１−１／２（ζ（２）−１）−１／３（ζ（３）−１）−１／４（ζ（４）−１）−・・・
などと書けることになります．これらの無限級数はかなり速く収束します．
なお、素数の逆数の和Σ（１／ｐ）については
ｌｉｍ｛Σ（１／ｐ）−ｌｏｇｌｏｇｎ｝→０．２６１４９・・・
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【２】ベンフォードの法則（ニューカムの法則）
１９３８年，ＧＥの物理学者ベンフォードは対数表の対数表の最初が残りの部分よりもひどく汚れていることに気づき，「１ではじまる数が多いのはなぜか」という問題に説明を与えました．
先頭の数字がどのような確率で出現するかを考えましょう．単純に各数字（０〜９）の出現確率が同じと考えれば，同じ確率１／９で現れるはずですが，実際には１から始まる数値が圧倒的に多く３０％くらいもあります．
たとえば，簡単な例として，２のベキ乗２^nを順に並べてそれぞれの最大桁の数を取り出すと
２，４，８，１６，３２，６４，１２８，２５６，５１２，１０２４，２０４８，・・・
→２，４，８，１，３，６，１，２，５，１，２，・・・
となっているのですが，倍にした数が９で始まるためには，その前の数字が４５−４９で始まっていなければなりません．それに対して，５−９で始まる数はどれも倍にすると１で始まる数になります．そして，最大桁がｋ（１≦ｋ≦９）である確率はｎ→∞のとき，
ｌｏｇ10（（ｋ＋１）／ｋ）
に収束することが知られています．
したがって，最大桁の頻度は１が一番高く
１→ｌｏｇ10２＝０．３０１０，
以下，
２→ｌｏｇ10３／２＝０．１７６１，
３→ｌｏｇ10４／３，
・・・・・・・・・，
９→ｌｏｇ10１０／９＝．０４５８
の順になるというわけです．
このことは計算尺を見れば１で始まる数が全体の約３０％を占めることとまったく同じで，逆に，９から始まる数値は４．５％程度まで落ちるのです．この現象はベンフォードの法則として知られていますが，実はアメリカの天文学者ニューカムが１８８１年に発見したのが最初ということです．
［補］フィボナッチ数の１０００項までの最高位の数もこの法則に従っていることがわかります．
数 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９
頻度 ３０１ １７７ １７７ ９６ ８０ ６７ ５６ ５３ ４５
フィボナッチ（Fibonacci）数列は，項比が黄金比に近づくという性質がなかに隠されている慨指数関数的増加数列なのですが，黄金比がギリシア文字のφで表されることから，phi-bonacci数列と呼ぶ人さえいます．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【３】ベンフォードの法則＝尺度不変性
１９６１年，数学者ビンカムは「尺度不変性があれば，ベンフォードの法則が成立する」ことを証明しました．尺度不変性（scale invariance）＝パワー則ですが，驚いたことにベンフォードの法則はパワー則の表れ，すなわち，この世界には指数的に増加するものが多いということになります．
［参］Havil著，新妻弘監訳「オイラーの定数ガンマ」共立出版
にしたがえば，Ｎ桁の数字までの累積分布をＰ（Ｎ）とすると
ｐ（ｋ）＝∫(k,k+1)Ｐ（Ｎ）ｄＮ
と表されるのですが，ベンフォードの法則はＰ（Ｎ）としてベキ指数１のジップ分布
Ｐ（Ｎ）〜１／Ｎ
を仮定することにより
ｐ（ｋ）＝∫(k,k+1)Ｐ（Ｎ）ｄＮ＝ｌｏｇ10（１＋１／ｋ）
と再現できるというのです．
それでは，最高位から２番目の数の出現頻度はどうなるか調べてみましょう．最高位の数がｋ1，次の位の数がｋ2となる確率は
ｌｏｇ10（１＋１／ｋ1ｋ2）
ですから，
Σｌｏｇ10（１＋１／ｋiｋ2）
で与えられます．
最高位から２桁目の数がｋ2である確率は
０→０．１１９７，
１→０．１１３９，
２→０．１０８８，
３→０．１０４３，
・・・・・・・・・，
９→０．０８５０
となって，２桁目に最もよく出てくる数字は０ですが，個々の数字の出現確率にはあまり差がないことがわかかります．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【４】連分数展開
連分数展開が有限で終わることと有理数であることは同値です．そこで，２次方程式の解となる√ｎの連分数展開を求めると，たとえば
√２＝［１：２，２，２，２，・・・］
√３＝［１：１，２，１，２，１，２，１，２，・・・］
√７＝［２：１，１，１，４，１，１，１，４，・・・］
のように循環型の単純連分数に展開されることが知られています．一般に，２次の無理数（整数係数の２次方程式の解）は周期的な連分数展開をもちます（ラグランジュの定理）．
平方根を無限連分数に表す手順はわかりやすく，たとえば，１＜√２＜２であるから
√２＝１＋（√２−１）
＝１＋１／（√２＋１） ２＜√２＋１＜３
＝１＋１／｛２＋（√２−１）｝
＝１＋１／｛２＋１／（√２＋１）｝
＝１＋１／｛２＋１／（２＋（√２−１）｝
＝１＋１／｛２＋１／（２＋１／（√２＋１）｝
＝１＋１／｛２＋１／｛２＋１／｛２＋１／｛２＋・・・
の手順を何度も繰り返すことにより，
√２＝［１：２，２，２，２，・・・］
ができあがります．また，黄金比φ＝（１＋√５）／２は，
φ＝［１：１，１，１，，１，・・・］
で表されます．黄金比φ＝（１＋√５）／２が，無限連分数
φ＝［１：１，１，１，，１，・・・］
や無限の入れ子の根号
φ＝√（１＋√（１＋√（１＋√（１＋・・・
で３通りにも表されるという事実は魔法のようにさえ思えます．
ここでは，連分数展開を用いて数の集合を定義してみますが，たとえば，正の実数が無限連分数展開され，そのすべての部分商が１または２であるような実数の集合のハウスドルフ次元は０．５３１２８０５０６・・・であることが計算されています．
３次以上の方程式の解，たとえば3√２の連分数展開を求めると，
3√２＝［１：３，１，５，１，１，４，１，１，８，１，１４，１，１０，２，１，４，・・・］
の一般項は求めることができません．この展開に現れる整数に最大値があることも示すこともできないのです．
有理数は有限連分数，無理数で代数的数の場合は無限循環連分数，超越数は無限非循環連分数になります．たとえば，超越数ｅの連分数展開は，
ｅ＝［２；１，２，１，１，４，１，１，６，１，１，８，１，１，１０，１，１，１２，１，１，１４，１，１，１６，・・・］
と書け，数字の出方が自然数順になっていることがわかります．すなわち，
ｅ＝［２；１，２，１，１，４，１，１，６，１，・・・，１，２ｎ，１，・・・］
πの連分数展開
π＝［３；７，１５，１，２９２，１，１，１，２，１，３，１，１４，２，１，１，２，２，２，２，１，８４，２，１，１，１５，３，１３，１，４，２，６，６，９９，１，２，２，６，３，５，１，１，６，・・・］
にはなんの規則性も見あたらないようにみえます．もちろん，一般項は見つかっていません．１０進数表現しても
ｅ＝２．７１８２８１８２７４５９０４５・・・
π＝３．１４１５９２６５３５８９７９３・・・
ｅには何かパターンがありそうに見えますが，πの数の並び方には何のパターンもありません．しかし，単純連分数（分子がすべて１）に限らなければ，
π／４＝１／｛１＋１^2／｛２＋３^2／｛２＋５^2／｛２＋７^2／｛２＋９^2／｛２＋・・・｝
分子には奇数の平方が並んでいるというパターンを見つけることができます．
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
単純循環連分数
Ｌ＝［ａ：ｂ，ｂ，ｂ，ｂ，・・・］
で表される数Ｌを求めてみることにしましょう．
Ｌ−ａ＝Ｒ＝［０：ｂ，ｂ，ｂ，ｂ，・・・］＝１／（ｂ＋Ｒ）
Ｒ^2＋ｂＲ−１＝０ → Ｒ＝（−ｂ＋（ｂ^2＋４）^(1/2)）／２
Ｌ＝ａ＋Ｒ＝ａ−ｂ／２＋（ｂ^2／４＋１）^(1/2)
同様に，２項が循環する連分数は
Ｌ＝［ａ：ｂ，ｃ，ｂ，ｃ，・・・］
Ｌ＝ａｂ−ｂｃ／２＋（（ｂｃ）^2／４＋ｂｃ）^(1/2)
ところで，数を連分数で表示すると数字１が大量に出現することに気づきます．そこで，連分数の部分商の分布について考えてみます．
［参］Havil著，新妻弘監訳「オイラーの定数ガンマ」共立出版
によると，整数部を除いた［０：ａ1，ａ2，ａ3，・・・，ａn］がｘより小さい小数となる確率は
Ｐ（［０：ａ1，ａ2，ａ3，・・・，ａn］＜ｘ）＝ｌｏｇ2（１＋ｘ）＋εn
で与えられますが，１９２８年にクズミンはほとんどすべての連分数に対して，
εn＝Ｏ（ｑ^√n） ０＜ｑ＜１
１９２９年にレヴィは
εn＝Ｏ（ｑ^n） ｑ＝０．７
であることを示しました．どちらも誤差項εnは漸近的に０になることを示しています．
連分数の部分商の確率密度関数は
Ｐ（ａn＝ｋ）＝Ｐ（ｋ＜εn＜ｋ＋１）＝Ｐ（εn＜ｋ＋１）−Ｐ（εn＜ｋ）
→ｌｏｇ2（１＋１／ｋ）−ｌｏｇ2（１＋１／（ｋ＋１））＝ｌｏｇ2（１＋１／ｋ（ｋ＋２））
したがって，十分大きなｎに対する部分商の起こる確率Ｐは
ｋ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９＋
Ｐ（ａn ＝ｋ） .41 .17 .09 .06 .04 .03 .02 .02 .16
となることがわかります．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【５】ヒンチンの定理
次にａnの平均値を求めてみます． ヒンチンは一般の連分数
［ａ0：ａ1，ａ2，ａ3，・・・，ａn，・・・］
の大多数についてあてはまる法則を発見しています．
ヒンチンの定理とは，幾何平均（ａ1ａ2・・・ａn）^1/nの値がｎ→∞のとき，ある無限乗積から定まる定数
（ａ1ａ2・・・ａn）^1/n→Π(1+1/k(k+2))^logk/log2=2.685452001･･･
に収束するというものです．κ＝２．６８５４５・・・はヒンチンの定数として知られています．
ただし，分母に明確なパターンのある代数的数やｅをはじめとするいくつかの超越数は例外になります．
（ｅの場合，（ａ1ａ2・・・ａn）^1/n→0.6259･･･）
算術平均は発散するのに対し幾何平均は収束するというわけですが，ほとんどすべての連分数の場合，調和平均も収束し，その極限値は
ｎ／（1/ａ1+1/ａ2+・・・+1/ａn）→１．７４５４０５６８・・・
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝