【１】ペル方程式に帰着される問題

（Ｑ１）１からｎ−１までの和がｎ＋１からｍまでの和に等しくなる（ｍ，ｎ）を求めよ．

（Ａ１）この問題は，ラマヌジャンがマハラノビスに出題したパズルで，

　　（ｎ−１）ｎ／２＝（ｍ−ｎ）（ｍ＋ｎ−１）／２なる（ｍ，ｎ）を求めるものというものです．これを整理すると

　　ｍ^2＋ｍ＝２ｎ^2

になるのですが，両辺を４倍して１加えます．すると

　　４ｍ^2＋４ｍ＋１＝８ｎ^2＋１

　　（２ｍ＋１）^2＝２（２ｎ）^2＋１

ここで，２ｍ＋１＝ｐ，２ｎ＝ｑとおくと

　　ｐ^2−２ｑ^2＝１　　（ペル方程式）

に帰着されます．

　√２の最良近似分数列ｐ／ｑ

　　1/1,3/2,7/5,17/12,41/29，99/70,239/169,577/408,･･･

において，

　　ｐ^2−２ｑ^2＝±１　　（ペル方程式）

の±１は交互に繰り返し現れます．

　　１^2＋１^2＝１^2＋１

　　２^2＋２^2＝３^2−１

　　５^2＋５^2＝７^2＋１

　　１２^2＋１２^2＝１７^2−１

　　・・・・・・・・・・・・・

　したがって，

　　（ｐ，ｑ）＝（３，２），（１７，１２），（９９，７０），（５７７，４０８），（３３６３，２３７８），・・・

　→（ｍ，ｎ）＝（１，１），（８，６），（４９，３５），（２８８，２０４），（１６８１，１１８９），・・・

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

（Ｑ２）△＝□，すなわち，三角数ｎ（ｎ＋１）／２が完全平方数ｍ^2となるｎの値を求めよ．

（Ａ２）ｎ^2＋ｎ＝２ｍ^2

　　４ｎ^2＋４ｎ＋１＝８ｍ^2＋１

　　（２ｎ＋１）^2＝２（２ｍ）^2＋１

ここで，２ｎ＋１＝ｐ，２ｍ＝ｑとおくと

　　ｐ^2−２ｑ^2＝１　　（ペル方程式）

に帰着されます．

　　（ｐ，ｑ）＝（３，２），（１７，１２），（９９，７０），（５７７，４０８），（３３６３，２３７８），・・・

　→（ｎ，ｍ）＝（１，１），（８，６），（４９，３５），（２８８，２０４），（１６８１，１１８９），・・・ｎは完全平方と完全平方の２倍を交互に繰り返します．

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