［１］ｅとπの連分数展開

　超越数ｅの連分数展開は，

　　ｅ＝［２；１，２，１，１，４，１，１，６，１，１，８，１，１，１０，１，１，１２，１，１，１４，１，１，１６，・・・］

と書け，数字の出方が自然数順になっていることがわかります．すなわち，２次の無理数のように規則的になっているわけですが，ｅのように超幾何関数の特殊値は３次の無理数よりも，２次の無理数に近いということなのでしょうか？

　ｅもπも超越数ですが，しかし，πの連分数展開

　　π＝［３；７，１５，１，２９２，１，１，１，２，１，３，１，１４，２，１，１，２，２，２，２，１，８４，２，１，１，１５，３，１３，１，４，２，６，６，９９，１，２，２，６，３，５，１，１，６，・・・］

にはなんの規則性も見あたらないようにみえます．πに現れる数字０〜９については，重複対数の法則と呼ばれるランダムウォークに基づく非常に厳しいランダムネス検定にも十分合格することが確かめられています．πには少なくとも何進法かの表現の下でなにか隠された未発見の規則性があるに違いないと信じている人もいますが，現在のところ，πは最も複雑な数なのです．

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［２］虚２次体Ｑ（√ｄ）の単数

　ｄ＜０のとき，

　　ｄ＝−１　→　４個の単数

　　ｄ＝−３　→　６個の単数

なのですが，

　　ｄ≠−１，−３　→　２個の単数｛±１｝

となります．

　すなわち，Ｑ（√ｄ）の場合，

(1)ｄ＞０ならば｛±１｝

(2)ｄ＜０のとき

　a)ｄ＝−１ならば｛±１，±ｉ｝

　b)ｄ＝−３ならば｛±１，±ρ，±ρ^2｝

　c)ｄ≠−１，−３ならば｛±１｝

（証明）

(1)ｄ＞０ならばα^n＝１なるαは±１しかない．

(2)ｄ＜０のとき

　　α^2−（α＋α~）α＋αα~＝０

という関係を満足し，｜α｜＝１だから，ｘ^2＋ｂｘ＋１＝０（ｂは整数）の根

　　α＝（−ｂ＋√（ｂ^2−４））／２

になる．

　ｂ^2＝４はα＝±１を与えるからｂ^2≠４とする．また，ｂ^2−４＝ｃ^2と平方数になる場合は（ｂ＋ｃ）（ｂ−ｃ）＝４より，

　　ｂ＋ｃ＝４，ｂ−ｃ＝１

これは明らかに不可能．したがって，ｄ＜０よりｂ^2−４＜０でなければならない．

　よって，ｂ＝０またはｂ＝１またはｂ＝−１の可能性がある．

　　ｂ＝０→｛±ｉ｝

　　ｂ＝１→｛±ρ｝

　　ｂ＝−１→｛±ρ^2｝

　なお，円分体

　　Ｑ（ζ），ζ＝ｅｘｐ(2πi/d)

の単数は

　　｛±１，±ζ，±ζ^2，・・・，±ζ^(d-1)｝

の２ｄ個の元からなります．

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