ラマヌジャンによるものとしては

　　（９^2＋１９^2／２２）^1/4＝π

　　６３（１７＋１５√５）／２５（７＋１５√５）＝π

などがある．

　前者は連分数のようにも見えるが，

　　π^4＝［９７：２，２，３，１，１６５３９，・・・］

　　π^4〜９７＋９／２２＝９^2＋１９^2／２２

となって，それが裏付けられる．

　　２π√２＝９９^2／１１０３

も連分数によるものである可能性が高いが，何らかの幾何学的な考察によっているようにも見える．

　もし幾何学的なものならば，ファウルハーバーの定理だろうか？

　各辺（ａ，ｂ，ｃ）と空間対角線ｄの直方体では

　　ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝ｄ^2

が成り立つが，ファウルハーバーは直角三角形の辺の長さの２乗を，直角三角錐の面の面積の２乗に拡張した．ピタゴラスの定理の３次元版である．

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【１】ファウルハーバーの定理（四平方の定理）

　辺（ｐ，ｑ，ｒ）が１点において直交する四面体において，３つの面の面積をａ，ｂ，ｃ，斜面の面積をｄとすると

　　（△ＡＢＣ）^2＝（△ＯＡＢ）^2＋（△ＯＢＣ）^2＋（△ＯＣＡ）

　　ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝ｄ^2

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【２】ファウルハーバーの定理の証明

　斜面の方程式は

　　ｘ／ｐ＋ｙ／ｑ＋ｚ／ｒ＝１

したがって，原点（０，０，０）から斜面までの距離は

　　１／（１／ｐ^2＋１／ｑ^2＋１／ｒ^2）^1/2

　四面体の体積をＶとすると

　　３Ｖ＝ｄ／（１／ｐ^2＋１／ｑ^2＋１／ｒ^2）^1/2＝ａｐ＝ｂｑ＝ｃｒ＝ｐｑｒ

ｄ^2＝（ｐｑｒ）^2・（１／ｐ^2＋１／ｑ^2＋１／ｒ^2）

＝（ｑｒ）^2＋（ｒｐ）^2＋）ｐｑ）^2

＝ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2

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【３】ファウルハーバーの定理の空間内の任意の平面図形への一般化

　Ｓの正射影の面積をそれぞれＳx，Ｓy，Ｓzとすると

　　Ｓx^2＋Ｓy^2＋Ｓz^2＝Ｓ^2

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【４】ファウルハーバーの定理の任意の次元ｎへの一般化

　ｎ＋１個のファセットをもつｎ次元直角錐体において，ｎ個のファセットのｎ−１次元体積の２乗和は，斜ファセットの体積の２乗に等しい．

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