Π（１−ｘ^n）＝Σ（−１）^kｘ^gk

の左辺を展開すると，

　　（１−ｘ）（１−ｘ^2）（１−ｘ^3）・・・

＝１−ｘ−ｘ^2＋ｘ^5−ｘ^7−ｘ^12＋ｘ^15＋・・・

　一方，分割の理論の結果を使うと，

　　Π１／（１−ｘ^n）＝Σｐ（ｎ）ｘ^n

　Π（１−ｘ^n）とΠ１／（１−ｘ^n）は互いに逆数の関係にあるので，右辺同士を掛け合わせると，ｘの係数が０になる．

　このことから，分割数を求めるには，五角数を利用したオイラーの方法が得られます．

　　p(n)-p(n-1)-p(n-2)+p(n-5)+p(n-7)-p(n-12)-p(n-15)+･･･=0^n

ただし，ｎ＝０のとき0^n=1，ｎが正のときは0^n=0とします．

　　+(-1)^kp(n-1/2k(3k-1))+(-1)^kp(n-1/2k(3k+1))

のように，符号は２つずつ組になって反転しています．

　たとえば，ｎ≦３０に対して，ｐ（ｎ）の値ががすべてわかっていれば，ｐ（３１）は

　　ｐ（３１）＝ｐ（３０）＋ｐ（２９）−ｐ（２６）−ｐ（２４）＋ｐ（１９）＋ｐ（１６）−ｐ（９）−ｐ（５）

で計算できます．再帰的に用いることで，ｐ（ｎ）値ががすべて計算できるのですが，それにしても不思議な公式です．

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