結び目は１次元のひもとそれが入っている３次元空間に特有な現象で，２次元空間では結べないし４次元空間ではすべての結び目はほどけてしまいます．結び目は次元の差３−１＝２の場合の特有な関係というわけです．

　ところで，アティヤ・シンガーの指数定理において，作用素の指数は解の数を測るものであり，それは２つの数の差，解の存在を決定する数（ひとつの解が満たさなければならない線形関係の系の次元）引く解の一意性を決定する数（すべての解の空間の次元）として得られます．

　指数は位相不変量であって，両者の類似性は指数定理が解析学と位相幾何学の間の橋渡しになっていることを主張しています．この証明はかなり複雑なものですが，より最近になって指数定理は量子力学の視点から再解釈され，ウィッテンはひも理論によってより単純で理解しやすい証明を与えました．

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【１】ガウス・ボンネの定理からアティヤ・シンガーの定理へ

　空間の不変量が特性数であり，特性数の最も簡単な例がオイラー標数であるのですが，特性類の理論は古くはガウス・ボンネの定理にその雛形を見いだすことができます．

　ガウス・ボンネの定理とは，

　　ガウス曲率の積分＝２π×オイラー数

で表されます．この定理は，曲面の各点における曲がり具合を知れば，穴の数がわかることを意味しています．われわれの住む世界にいくつ穴が空いているかは，外側からみれば一目瞭然ですが，内部に住む人間（曲面人）にはなかなか理解できません．しかし，面・辺・頂点の数を数えたり，世界の曲がり具合を調べることによって，内部に住む人間も穴の数を知ることができるようになるというわけです．

　ガウス・ボンネの定理は，

　　∫（微分幾何学的データ）＝位相幾何学的データ

の形をしています．すなわち，ガウス・ボンネの定理は，局所的に記述されるガウス曲率を全体で積分すると位相不変量（大域的で連続的に変形していっても変化しない量）になることをいっているわけで，微分幾何学と位相幾何学の異なる２つの世界を結びつけているところから，微分幾何学で最も美しい定理といわれています．

　そして，ガウス・ボンネの定理に類似の図式は，リーマン面のリーマン・ロッホの定理やディラック演算子に関するアティヤ・シンガーの定理などにも表れ，美しい定理の１つの型となっています．

　オイラー数を曲率の積分で表すガウス・ボンネの定理は，２次元に限らず，２ｎ次元についても拡張されて成り立ちます．これは，ポアンカレ・ホップの指数定理とも呼ばれています．その後，ガウス・ボンネの定理はチャーン（陳省身）によって高次元に拡張されました．また，ガウス・ボンネ・チャーンの定理，リーマン・ロッホの定理，ヒルチェブルフの符号定理など，それ以前に知られていた幾何学の代表的ないくつかの定理を統一したものが，アティヤ・シンガーの指数定理なのです．

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【２】結び目不変量

　１８６７年，ケルヴィン卿は原子はエーテルの渦のなかの結び目であるとする理論を提案しました．この理論は原子が太陽系に似たボーアのモデルが採用されるにおよんで放棄されましたが，今日，結び目はウィッテンのひも理論（弦理論）のおかげで復活しました．

　リーマン，メビウス，クラインは２次元曲面を，サーストンは３次元曲面を分類しようと試みました．結び目は１次元曲面と考えることができるわけですが，両端を糊付けしたひもを考え，位相幾何学的な観点からその分類を試みるのは自然な成り行きでしょう．

　結び目理論では結び目に不変量を割り当てることが求められます．アレクサンダー不変量，ジョーンズ不変量，・・・，現在のところ最良の不変量はコンツェヴィッチ不変量ですが，こうした発展にも関わらず結び目の完全な分類はまだ見いだされていません．

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