３元２次のディオファントス方程式
ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝３ｘｙｚ
のすべての解を求める問題は，たとえば３元３次の方程式ｘ^3＋ｙ^3＋ｚ^3＝ｘ＋ｙ＋ｚの場合とは違って，ｘ，ｙ，ｚの各変数に関して２次式になっているので１つの解の中の数を使って別の解を作ることができます．
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【１】マルコフ数
ｚ＝ｘｙ／２・｛３±（９−４／ｘ^2−４／ｙ＾２）^1/2｝
であり，すべての解は特異解（１，１，１），（１，１，２）から生成されます．たとえば（ｘ，ｙ，ｚ）＝（１，１，１），（２，１，１），（５，１，２），（１３，１，５），（２９，５，２），・・・はひとつの整数解が次の解を導き，
（ｘ，ｙ）＝（１，１）→ｚ＝１，２
（ｘ，ｙ）＝（１，２）→ｚ＝１，５
（ｘ，ｙ）＝（１，５）→ｚ＝２，１３
（ｘ，ｙ）＝（２，５）→ｚ＝１，２９
ｘ≦ｙ≦ｚとしても一般性は失われませんが，特異解（１，１，１），（１，１，２）以外のすべての解はｘ，ｙ，ｚの値が相異なります（ｘ＜ｙ＜ｚ）．
こうして，２次のディオファントス方程式ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝３ｘｙｚの解として現れる，
１，２，５，１３，２９，３４，８９，１６９，１９４，２３３，４３３，６１０，９８５，・・・
はマルコフ数と呼ばれます．
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［補］３元２次のディオファントス方程式
ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝３ｘｙｚ
の解（ｘ，ｙ，ｚ）＝（１，１，１），（２，１，１），（５，１，２），（１３，１，５），（２９，５，２），・・・を並べると，各解は他の３つの解に相隣り合い，２分木のように配置する．真の２分木なのか，同じ値が２つの別のルートから生成されることがあり得るかは有名な未解決問題である．
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【２】ペル数列
１，２，５，１３，３４，８９，・・・はフィボナッチ数列から１つおきにとってならべたものです．フィボナッチ数列：ａn＝ａn-1＋ａn-2は有名な数列ですから説明する必要はないでしょうが，他にはどのような数列があるのでしょうか？
トリボナッチ数列，テトラナッチ数列，ペンタナッチ数列，ヘキサナッチ数列・・・とその変形（ａn＝ａn-2＋ａn-5，ａn＝ａn-2＋ａn-3（パドヴァン数列・ペラン数列），ａn＝ａn-1＋ａn-3，ａn＝２ａn-1＋ａn-2（ペル数列），ａn＝ａn-2＋ａn-3＋ａn-4）・・・
１，５，２９，１６９，９８５，・・・はペル数列から１つおきにとってならべたものになっています．
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素数が無限に存在すること・√２が無理数であることは，ギリシア数学のなかでも有名な定理です．それぞれユークリッドとピタゴラスが背理法を用いて証明しています．√２は２つの整数の比ｐ／ｑではないので，√２＝ｐ／ｑすなわちｐ^2＝２ｑ^2になるような２つの整数ｐ，ｑを見つけることはできません．しかし，誤差±１を許すことにすると
２ｑ^2＝ｐ^2±１ （ペル方程式）
なる２つの整数ｐ，ｑを見つけることができます．
２^2＋２^2＝３^2−１
５^2＋５^2＝７^2＋１
１２^2＋１２^2＝１７^2−１
・・・・・・・・・・・・・
このとき，±１は交互に繰り返し現れます．
√２の最良近似値は1/1,3/2,7/5,17/12,41/29,･･･です．このような分数を全部求めるには１／１から出発して１＋１＝２が次の分母になり，１＋２＝３が次の分子になる，３＋２＝５が第３の分母，２＋５＝７が第３の分子になる，すなわち，１つ前の分数の分子と分母の和が次の分母になり，ひとつ前の分数の分母を２倍したものとその分子の和が次の分子になり，同様に続いていくという算術的な規則があります．
１，２，５，１２，２９，７０，１６９，４０８，・・・
はペル数列（ａn＝２ａn-1＋ａn-2）と呼ばれます．
1/1↓ ↑3/2↓ ↑7/5↓ ↑17/12↓ ↑41/29↓ ・・・
すなわち，ペル方程式：ｐ^2−２ｑ^2＝±１を満たすｐ／ｑがひとつの分数で，Ｐ／Ｑが次の分数だとすると
Ｑ＝ｐ＋ｑ，Ｐ＝ｑ＋Ｑ＝ｐ＋２ｑ
Ｐ^2−２Ｑ^2＝２ｑ^2−ｐ^2＝±１
となって，Ｐ／ＱもまたＰ^2−２Ｑ^2＝±１となる分数を与えることができることになります．１／１から始まって次々に解となる分数を見つけることができるというわけです．
ｐ／ｑ→Ｐ／Ｑ＝（ｐ＋２ｑ）／（ｐ＋ｑ）
（−１） 1/1＜7/5＜41/29＜239/169＜・・・＜√２＜・・・＜577/408＜99/70＜17/12＜3/2 （＋１）
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［補］初項１，第２項１から始まり，隣り合う２項の和が次の項となる数列
１，１，２，３，５，８，・・・
をフィボナッチ数列とよびます．その一般項Ｆn は
Ｆn＝Ｆn-1＋Ｆn-2
です．フィボナッチ数列の特性方程式
ｘ^2−ｘ−１＝０
の２根を
α＝（１＋√５）／２＝φ，β＝（１−√５）／２＝−１／φ
とおくと，フィボナッチ数列の一般項は，
Ｆn＝１／√５（α^n−β^n）
また，連続する２項の比は黄金比
φ＝（１＋√５）／２＝１．６１８０３４・・・
フィボナッチ数列から１つおきにとってならべると連続する２項の比はφ^2＝φ＋１＝２．６１８０３４・・・に次第に近づくことになります．
同様に，ペル数列（ａn＝２ａn-1＋ａn-2）
１，２，５，１２，２９，７０，１６９，４０８，・・・
の特性方程式
ｘ^2−２ｘ−１＝０
の２根を
γ＝１＋√２，δ＝１−√２
とおくと，ペル数列の一般項は，
Ｐn＝１／２√２（γ^n−δ^n）
連続する２項の比は
１＋√２
ペル数列から１つおきにとってならべると連続する２項の比は（１＋√２）^2に次第に近づくことになります．
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【３】ディオファントス近似の近似精度
連続する２つの近似分数をａn／ｂn，ａn+1／ｂn+1とすると，それらのうち一方は
｜α−ａ／ｂ｜＜１／２ｂ^2を満たす．
（証）α−ａn／ｂn，α−ａn+1／ｂn+1は反対符号で，ａnｂn+1−ａn+1ｂn＝（−１）^(n+1)であるから
｜α−ａn／ｂn｜＋｜α−ａn+1／ｂn+1｜
＝｜ａn／ｂn−ａn+1／ｂn+1｜
＝１／ｂnｂn+1
任意の実数α，βに対してαβ＜（α^2＋β^2）／２であるから
１／ｂnｂn+1＜１／（２ｂn^2）＋１／（２ｂn+1^2）
これより題意の結果が得られる．
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連続する３つの近似分数をａn／ｂn，ａn+1／ｂn+1，ａn+2／ｂn+2とすると，それらのうち少なくともひとつは
｜α−ａ／ｂ｜＜１／√５ｂ^2
を満たす．
この結果から
｜α−ａ／ｂ｜＜１／√５ｂ^2を満たす有理数ａ／ｂは無限に多く存在するを証明することができる．この定数√５は最良のもので，これより大きな数に置き換えることはできないが，黄金比φのようにαの連分数展開が有限個を除いてすべて１になる無理数を除外すれば，√５の代わりに√８を用いても成り立つ．
｜α−ａ／ｂ｜＜１／√８ｂ^2
次に問題になるのは√２のようなαの連分数展開が有限個を除いてすべて２になる無理数で，それを除くと定理を
｜α−ａ／ｂ｜＜１／√（２２１／２５）ｂ^2
に改良できる．
同様の改良を続けていったときの定数√５，√８，√（２２１／２５），・・・がラグランジュ数である．それらは
√（９−４／ｍ^2）
において，それぞれｍ＝１，２，５とおいたものである．
ｍ＝１，２，５，１３，２９，３４，８９，１６９，１９４，２３３，４３３，６１０，９８５，・・・
はマルコフ数と呼ばれる．マルコフ数は２次のディオファントス方程式
ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝３ｘｙｚ
の解として現れることは前述したとおりであり，大いに興味をかき立ててきたディオファントス方程式である．
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