漸化式は

　　合計＝２^n-1・（ｎ，ｋ＋１）＋２ｎ・ｆ（ｎ−１，ｋ）

　　ｆ（ｎ，ｋ）＝合計／（ｎ−ｋ），ｋ＝２〜ｎ−１

の形で与えられる．（その１１）の続きを解いてみよう．

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【１】ｋ＝２の場合

　　ｆ（ｎ，２）＝｛２^n-1・（ｎ，３）＋２ｎ・ｆ（ｎ−１，２）｝／（ｎ−２）

　　ｆ（ｎ，２）＝｛２^n-2・ｎ（ｎ−１）／３＋２ｎ／（ｎ−２）・ｆ（ｎ−１，２）

　　ｆ（ｎ，２）＝２ｎ／（ｎ−２）ｆ（ｎ−１，２）＋２^n-2ｎ（ｎ−１）／３・・・［１］

２ｎ／（ｎ−２）において，ｎ→ｎ＋１すなわち２（ｎ＋１）／（ｎ−１）として両辺にかけると

　　２（ｎ＋１）／（ｎ−１）ｆ（ｎ，２）＝２^2ｎ（ｎ＋１）／（ｎ−２）（ｎ−１）ｆ（ｎ−１，２）＋２^n-1ｎ（ｎ＋１）／３

　　２ｎ／（ｎ−２）ｆ（ｎ−１，２）＝２^2（ｎ−１）ｎ／（ｎ−３）（ｎ−２）ｆ（ｎ−２，２）＋２^n-2（ｎ−１）ｎ／３・・・［２］

２ｎ／（ｎ−２）において，ｎ→ｎ＋１すなわち２（ｎ＋１）／（ｎ−１）として両辺にかけると

　　２^2ｎ（ｎ＋１）／（ｎ−２）（ｎ−１）ｆ（ｎ−１，２）＝２^3ｎ（ｎ＋１）／（ｎ−３）（ｎ−２）ｆ（ｎ−２，２）＋２^n-1ｎ（ｎ＋１）／３

　　２^2（ｎ−１）ｎ／（ｎ−３）（ｎ−２）ｆ（ｎ−２，２）＝２^3（ｎ−２）（ｎ−１）ｎ／（ｎ−４）（ｎ−３）（ｎ−２）ｆ（ｎ−３，２）＋２^n-2（ｎ−１）ｎ／３・・・［３］

２ｎ／（ｎ−２）において，ｎ→ｎ＋１すなわち２（ｎ＋１）／（ｎ−１）として両辺にかけると

　　２^3ｎ（ｎ＋１）／（ｎ−３）（ｎ−２）ｆ（ｎ−２，２）＝２^4ｎ（ｎ＋１）／（ｎ−４）（ｎ−３）ｆ（ｎ−３，２）＋２^n-1ｎ（ｎ＋１）／３

　　２^3（ｎ−１）ｎ／（ｎ−４）（ｎ−３）ｆ（ｎ−３，２）＝２^4（ｎ−３）（ｎ−２）（ｎ−１）ｎ／（ｎ−５）（ｎ−４）（ｎ−３）（ｎ−２）ｆ（ｎ−４，２）＋２^n-2（ｎ−１）ｎ／３・・・［４］

　［１］［２］［３］［４］より，ｋ＝２，ｍ＝１，２，・・・として右辺はｎ，ｎ−ｋから降順にｍ個の積になっている．

　　２^m（ｎ−ｍ＋１）・・・ｎ／（ｎ−ｋ−ｍ＋１）・・・（ｎ−ｋ）ｆ（ｎ−ｍ，ｋ）＋２^n-2（ｎ−１）ｎ／３

ｍ＝ｎ−３とおくと

　　２^n-3（ｎ−１）ｎ／６ｆ（３，２）＋２^n-2（ｎ−１）ｎ／３＝２^n-2（ｎ−１）ｎ／３＋２^n-2（ｎ−１）ｎ／３

　　ｆ（ｎ，２）＝２^n-2（ｎ−１）ｎ／３＋２^n-2（ｎ−１）ｎ（ｎ−３）／３＝２^n-2ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）／３

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【２】ｋ＝３の場合

　　ｆ（ｎ，３）＝｛２^n-1・（ｎ，４）＋２ｎ・ｆ（ｎ−１，３）｝／（ｎ−３）

　　ｆ（ｎ，３）＝｛２^n-4・ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）／３＋２ｎ／（ｎ−３）・ｆ（ｎ−１，３）

　　ｆ（ｎ，３）＝２ｎ／（ｎ−３）ｆ（ｎ−１，３）＋２^n-4ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）／３・・・［１］

２ｎ／（ｎ−３）において，ｎ→ｎ＋１すなわち２（ｎ＋１）／（ｎ−２）として両辺にかけると

　　２（ｎ＋１）／（ｎ−２）ｆ（ｎ，３）＝２^2ｎ（ｎ＋１）／（ｎ−３）（ｎ−２）ｆ（ｎ−１，３）＋２^n-3（ｎ−１）ｎ（ｎ＋１）／３

　　２ｎ／（ｎ−３）ｆ（ｎ−１，３）＝２^2（ｎ−１）ｎ／（ｎ−４）（ｎ−３）ｆ（ｎ−２，３）＋２^n-4（ｎ−２）（ｎ−１）ｎ／３・・・［２］

２ｎ／（ｎ−３）において，ｎ→ｎ＋１すなわち２（ｎ＋１）／（ｎ−２）として両辺にかけると

　　２^2ｎ（ｎ＋１）／（ｎ−３）（ｎ−２）ｆ（ｎ−１，３）＝２^3（ｎ−１）ｎ（ｎ＋１）／（ｎ−４）（ｎ−３）（ｎ−２）ｆ（ｎ−２，３）＋２^n-3（ｎ−１）ｎ（ｎ＋１）／３

　　２^2（ｎ−１）ｎ／（ｎ−４）（ｎ−３）ｆ（ｎ−２，３）＝２^3（ｎ−２）（ｎ−１）ｎ／（ｎ−５）（ｎ−４）（ｎ−３）ｆ（ｎ−３，３）＋２^n-4（ｎ−２）（ｎ−１）ｎ／３・・・［３］

２ｎ／（ｎ−３）において，ｎ→ｎ＋１すなわち２（ｎ＋１）／（ｎ−２）として両辺にかけると

　　２^3（ｎ−１）ｎ（ｎ＋１）／（ｎ−４）（ｎ−３）（ｎ−２）ｆ（ｎ−２，３）＝２^4（ｎ−１）ｎ（ｎ＋１）／（ｎ−５）（ｎ−４）（ｎ−３）ｆ（ｎ−３，３）＋２^n-3（ｎ−１）ｎ（ｎ＋１）／３

　　２^3（ｎ−２）（ｎ−１）ｎ／（ｎ−５）（ｎ−４）（ｎ−３）ｆ（ｎ−３，３）＝２^4（ｎ−３）（ｎ−２）（ｎ−１）ｎ／（ｎ−６）（ｎ−５）（ｎ−４）（ｎ−３）ｆ（ｎ−４，３）＋２^n-4（ｎ−２）（ｎ−１）ｎ／３・・・［４］

　［１］［２］［３］［４］より，ｋ＝３，ｍ＝１，２，・・・として右辺はｎ，ｎ−ｋから降順にｍ個の積になっている．

　　２^m（ｎ−ｍ＋１）・・・ｎ／（ｎ−ｋ−ｍ＋１）・・・（ｎ−ｋ）ｆ（ｎ−ｍ，３）＋２^n-4（ｎ−２）（ｎ−１）ｎ／３

ｍ＝ｎ−４とおくと

　　２^n-4（ｎ−２）（ｎ−１）ｎ／２４ｆ（４，３）＋２^n-4（ｎ−２）（ｎ−１）ｎ／３＝２^n-4（ｎ−２）（ｎ−１）ｎ／２４・１６＋２^n-4（ｎ−２）（ｎ−１）ｎ／３

　　ｆ（ｎ，３）＝２^n-4（ｎ−２）（ｎ−１）ｎ／２４・１６＋２^n-4（ｎ−２）（ｎ−１）ｎ（ｎ−４）／３＝２^n-4ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）^2／３

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