正の整数Ａが３辺が有理数の直角三角形の面積になっているとき，すなわち，Ａ＝ａｂ／２，ａ^2＋ｂ^2＝ｈ^2のとき，合同数と呼ばれる．

　ピタゴラス三角形と関連する合同数は古い歴史をもっていて，合同数をすべて求めること，あるいは与えられた正の整数Ａが合同数であるかどうかを判定することは古代からの問題であった．たとえば，６は直角三角形（３，４，５）の面積，３０は直角三角形（５，１２，１３）の面積であるから合同数である．最小の合同数は直角三角形（３／２，２０／３，４１／６）の面積５である．１が合同数ではないことはフェルマーが証明した．７が合同数であることを示したのはオイラーである．

　合同数問題を同値な形で言い換えると，「Ａを与えるとき，有理数ｘでｘ^2＋Ａとｘ^2−Ａがともに有理数の平方となるものを見つけることができるか」になる．すなわち，（平方因子をもたない）正の整数Ａが合同数であるための必要十分条件は

　　ｘ^2＋Ａｙ^2＝ｚ^2

　　ｘ^2−Ａｙ^2＝ｗ^2

が整数解でｙ≠０のものをもつことである．Ａ＝１のときがフィボナッチの問題である．

　連立整数解をもつ整数Ａが合同数であるが，合同数がいまもなお興味をかきたてる理由のひとつは，合同数では最小解がしばしば常軌を逸した大きさになるからである．たとえば，Ａ＝１０１は合同数であって，最小解は

　　ｘ＝２０１５２４２４６２９４９７６０００１９６１

　　ｙ＝　１１８１７１４３１８５２７７９４５１９００

　　ｚ＝２３３９１４８４３５３０６２２５００６９６１

　　ｗ＝１６２８１３４３７０７２７２６９９９６９６１

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【１】合同数と楕円曲線

　２つの方程式をかけると

　　（ｚｗｘ／ｙ^3）^2＝（ｘ^2／ｙ^2）^3−Ａ^2（ｘ^2／ｙ^2）

を得る．

　合同数問題における整数Ａの性質と楕円曲線：

　　ｙ^2＝ｘ^3−Ａ^2ｘ＝ｘ（ｘ＋Ａ）（ｘ−Ａ）

　　Ａは合同数←→ｙ^2＝ｘ^3−Ａ^2ｘは無限個の有理点をもつ

との関連については

　　　J.S.Chahal「数論入門講義」共立出版

などを参照していただきたいのであるが，わかっていることをまとめると，

［１］Ａが分離的数の場合，

　　　Ａ＝１，Ａ＝２→自明解のみ

　　　Ａ＝３（ｍｏｄ８）→自明解のみ

　　　Ａ＝５，６，７（ｍｏｄ８）→非自明解がある

Ａ＝１，２（ｍｏｄ８）→どちらの場合もある

　Ａが分離的とはｐ^2｜Ａなる素数ｐがないこと，すなわち，Ａ＝±ｐ1ｐ2・・・ｐn，ｐi≠ｐjと因数分解されることである（Ａ＝±１は分離的，Ａ＝１は平方数であり分離的数である唯一の整数）．

　ｋ＝５，６，７（ｍｏｄ８）→非自明解がある

という予想は，ＢＳＤ予想からも自然にでてくるものであるという．

［２］非自明解がある場合，

　　Ａｃ^2＝ａｂ（ａ^2−ｂ^2）　　（ａ，ｂ）＝１，ａ≠ｂ（ｍｏｄ２）

を満足するａ，ｂ，ｃに対して，

　　ｘ＝（ａ^2＋ｂ^2，２ｃ，ａ^2−ｂ^2＋２ａｂ，ａ^2−ｂ^2−２ａｂ）

は非自明解を与える．

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【２】合同数の判定アルゴリズム

　Ａ＝１，２，３，４は合同数ではなく，Ａ＝５，６，７は合同数であるが，与えられた正の整数Ａが合同数であるかどうかを判定する手順については，タンネルの定理（１９８３）

　「Ａを平方因子をもたない正の奇数とすると，Ａが合同数ならば

　　２ｘ^2＋ｙ^2＋８ｚ^2＝Ａを満たす（ｘ，ｙ，ｚ）の組数は，２ｘ^2＋ｙ^2＋３２ｚ^2＝Ａを満たす（ｘ，ｙ，ｚ）の組数の２倍に等しい．（ＢＳＤ予想が正しいならば逆も成立する．）」

　たとえば，Ａ＝１０１（合同数）の場合，Ａ＝５（ｍｏｄ８）であるが，

　　２ｘ^2＋ｙ^2＋８ｚ^2＝Ａ→０組

　　２ｘ^2＋ｙ^2＋３２ｚ^2＝Ａ→０組

非自明解そのものを与えることはできないものの，合同数か否かの判定は可能である．

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