図形数とは，その個数の点をそれぞれの幾何学的図形の配置に並べられる整数である．

　三角数＝Σｋ＝ｎ（ｎ＋１）／２＝（ｎ＋１，２）

　四角数＝ｎ^2

　正四面体数＝Σ（三角数）＝ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）／６＝（ｎ＋２，３）

　正四角錐数＝Σ（四角数）＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６

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【１】ガードナーの問題

　ガードナーはこれらから生ずる６対が互いに等しいものを問題とした．三角数＝四角錐数以外はすべて解かれている．三角数＝四角錐数の問題は，楕円曲線

　　３（２ｙ＋１）^2＝８ｘ^3＋１２ｘ^2＋４ｘ＋３

に帰着されるが，解はｘ＝−１，０，１，５，６，８５ですべてであるのかどうかは未解決である．

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【２】リュカの問題（四角錐数＝四角数の問題）

　　１^2＋２^2＋３^2＋・・・＋２４^2＝２４（２４＋１）（２・２４＋１）／６＝７０^2

は，最初の２４個の平方数の合計が平方数になっているという面白い式です．驚異的ですらあります．

　級数の公式：Σｋ^2＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６をご存じの方も多いでしょうが，１からｎまでの平方の和が平方数となるのはｎが１か２４の場合しかありません．四角錐数＝四角数あるいは２５平方の等式ともいうべきこの等式はリュカの問題（１８７３年）として知られています．

　ｙ^2＝ｘ（ｘ＋１）（２ｘ＋１）／６の唯一自明でない整数解は（２４，７０）で，それ以外の自明な解がないことは楕円関数やペル方程式を使って証明されています．すなわち，１より大きい数でこれが起こるのは２４だけで，それ以外の数では決して最初の２個の平方の和は平方数にはならないのです．

　この等式は辺の長さが相続く整数列１，２，・・・，２４の正方形を１辺の長さ７０の正方形の中に詰め込める可能性があることを示唆しています．それでは，実際に，７０×７０の正方形を辺が１から２４の相続く正方形によって埋めつくすことができるでしょうか．この問題の答えは否定的（不可能）です．１辺の長さ７の正方形を除くすべての正方形は詰め込めるのですが・・・．それならば，無駄な空間の割合を最小にして，辺の長さが１，２，・・・，ｎの正方形を全て詰め込むことができる最小の正方形の辺の長さはいくつでしょうか．また，相続く整数辺の正方形を使って長方形を充填できるでしょうか．

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【３】モーデルの問題

　　ｙ^2＝（ｘ，０）＋（ｘ，１）＋（ｘ，２）＋（ｘ，３）

も楕円曲線

　　６ｙ^2＝（ｘ＋１）（ｘ^2−ｘ＋６）

に帰着され，整数解は有限個ですが，この方程式の解はｘ＝−１，０，２，７，１５，７４，７６７ですべてであることが示されています．　　

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【４】シェルピンスキーの問題

　（ｘ，３）＋（ｙ，３）＝（ｚ，３）は２つの四面体数を足してまた四面体数になることがあるかという問題です．シェルピンスキーはこれを満たす正の整数は無限にあることを証明しました．最も単純な解は（ｘ，ｙ，ｚ）＝（１０，１５，１７）です．

　また，

　（ｘ，３）＋（ｙ，３）＝２（ｚ，３）は等差数列をなす３つの四面体数の問題です．シェルピンスキーはこのディオファントス方程式にも正の整数解が無限にあることを証明しました．最も単純な解は（ｘ，ｙ，ｚ）＝（６，１２，１０）です．

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【５】ガウスの円問題

　原点を中心とした半径ｒの円の内部（境界を含む）にある整数点の個数をＲ（ｒ）で表す．Ｒ（ｒ）は円の面積の推定値を与える．

　ガウスは

　　｜Ｒ（ｒ）−πｒ^2｜＜ｃｒ

を示したが，

　　｜Ｒ（ｒ）−πｒ^2｜＜ｃｒ^k

となるｋの最小値を求める問題に一般化される．

　シェルピンスキーはｋ≦２／３を証明し，ガウスのｋ＝１を大きく改善した．１９６３年に陳景潤はｋ≦２４／３７を，１９９０年にハクスリーはｋ≦４６／７３を得たが，シェルピンスキーの成果からほんのわずかしか進んでいない．

　ｋ＝１／２と予想されている．同じ問題を３次元球についても考えることができる．

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