高次元多面体に比べて，高次元球は理解もしやすく，実際に通信理論に応用されている．とくに８次元球や２４次元球の最密充填は重要であるが，その様子を思い浮かべるのは大変であるから，３次元の最密球充填で代用することで勘弁願いたい．

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　３次元の最密球充填は面心立方格子状配置，すなわち，中心に置いた球に対して，同じ層では隣接する６球，上の層では３球，下の層では３球計１２球に接する配置が３次元の最密球充填である．

　一方，３桁通信システムでは通信の際のエラーを検出する目的で，中心（０，０，０）から√２離れた格子点，

（±１，±１，０），（±１，０，±），（０，±１，±１）

が用いられている．ここに半径１／√２の球を配置すると３次元の最密球充填になっているというわけである．

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　３桁通信システムでは３^3＝２７個の格子点のなかから１３個の最適配置となる格子点が選ばれているが，８桁通信システムには，素粒子物理学で有名なＥ8格子が用いられている．Ｅ8格子は

［１］座標成分がすべて整数か（１１２点），すべて整数１／２か（１２８点）のいずれか

［２］座標成分の和は偶数

［３］座標成分の平方の和は２に等しい（原点からの距離が√２）

の２４０個の８次元ベクトル（ルートと呼ばれる）の集まりである．

　Ｅ8格子には全部で２４０個（１１２＋１２８）のルートがあるが，ベクトル（１，０，０，−１，０，０，０，０）や（１／２，１／２，−１／２，１／２，１／２，１／２，１／２，−１／２）はルートの１例である．８桁通信システムでは５^8＝３９０６２５個の格子点のなかから２４１個の最善配置をなる格子点が選ばれているのである．

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