「分割数」とは与えられた整数にどれだけ多くの分割があるのか（4=1+1+1+1,4=3+1）という整数の分割理論のことです．整数の分割では，3=2+1と3=1+2のように足し算の順序が違うものは同じと見なすことにします．

　たとえば，４を分割するには非増加数列で構成した５通りの方法，4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1がありますから，p(4)=5．同様にして，5=4+1=3+2=3+1+1=2+2+1=2+1+1+1=1+1+1+1+1よりp(5)=7となります．（分割を図形的に表す方法にヤング図形がある．ヤング図形は非増加な非負整数列を表現する印象的な方法である．）

　なお，分割数を求めるには，五角数を利用したオイラーの方法があります．

　　p(n)-p(n-1)-p(n-2)+p(n-5)+p(n-7)-p(n-12)-p(n-15)+･･･=0^n

ただし，ｎ＝０のとき0^n=1，ｎが正のときは0^n=0とします．

　　+(-1)^kp(n-1/2k(3k-1))+(-1)^kp(n-1/2k(3k+1))

のように，符号は２つずつ組になって反転しています．

　たとえば，ｎ≦３０に対して，ｐ（ｎ）の値ががすべてわかっていれば，ｐ（３１）は

　　ｐ（３１）＝ｐ（３０）＋ｐ（２９）−ｐ（２６）−ｐ（２４）＋ｐ（１９）＋ｐ（１６）−ｐ（９）−ｐ（５）

で計算できます．再帰的に用いることで，ｐ（ｎ）値ががすべて計算できるのですが，それにしても不思議な公式です．

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［補］オイラーの五角数定理

　（１−ｘ）（１−ｘ^2）（１−ｘ^3）・・・＝１−ｘ−ｘ^2＋ｘ^5＋ｘ^7−ｘ^12−ｘ^15＋・・・

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