コラム「正三角形の最大内接正方形と正方形の最大内接正三角形」では，カラビの三角形を紹介した．
（Ｑ）正三角形には内接する最大の正方形が３通りある．正三角形ではどの辺を底辺をとっても内接正方形の面積は変わらないが，これは正三角形でしか起こり得ないことだろうか？
（Ａ）カラビによる２等辺鈍角三角形（１：１：ｘ）は３種類の内接正方形が同じ大きさとなる正三角形以外の唯一の三角形であることが知られている（カラビの三角形）．
正方形（１辺の長さａ）の４つの頂点は２等辺鈍角三角形（底角θ）の辺上にあり，２つの頂点は底辺に，あとの２つの頂点はそれぞれ斜辺の上にあるものとします．このとき，斜辺上にある正方形の頂点がそれをｙ：１−ｙに内分するとき
ａ＝ｘ−２（１−ｙ）ｃｏｓθ＝（１−ｙ）ｓｉｎθ＝２ｙｃｏｓθ
より
ｙ＝ｓｉｎθ／（２ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ）
正方形の２つの頂点は頂角と斜辺に，もうひとつの頂点は底辺の上にあるとき，
ａ／（１−ａ）＝ｔａｎθ
が成り立つ．ａ＝２ｙｃｏｓθを代入すると
ｙ＝ｔａｎθ／（２ｃｏｓθ＋２ｓｉｎθ）
この２式が等しいとおくと
（２ｃｏｓθ−１）ｓｉｎθ＝２ｃｏｓθ（１−ｃｏｓθ）
また，
ｃｏｓθ＝ｘ／２，ｓｉｎθ＝（１−ｘ^2／４）^1/2
であるから，
２ｘ^4−６ｘ^3＋ｘ^2＋８ｘ−４＝（ｘ−２）（２ｘ^3−２ｘ^2−３ｘ＋２）＝０
ｘ＝１．５５１３９・・・は２ｘ^3−２ｘ^2−３ｘ＋２＝０の正値解のひとつ（１．５５１３９，０．５７３１８３，−１．１２４５７）．これは頂角１０１．７３６°の２等辺鈍角三角形である．
この２等辺鈍角三角形を見て思い出したのが
（Ｑ）５つの合同三角形に分割できる三角形は何か？
（Ｑ）５つの相似三角形に分割できる三角形は何か？
という三角形分割の問題である．→コラム「パズルワールド散策（その９）」参照
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【１】三角形分割
任意の三角形の３辺の中点を結ぶと，もとの三角形は合同な４つの三角形に分割される．新たに生じた三角形はもとの三角形と相似（相似比１：２）である．このように任意の三角形は自分自身と相似な４個の三角形に分けることができる．辺の長さが１：２：√５の直角三角形は同形４つだけでなく，５つにも分割できる特殊な三角形である．
新たに生じる三角形同士は合同である必要はないとして，ｎ個の自分自身と相似な三角形に分割する問題は，ｎ＝４またはｎ≧６ならば可能であることが知られている．ｎ＝２，ｎ＝３の場合は直角三角形のみがそのように分割可能である．直角の頂点から斜辺に垂線を下ろせばよい．
（Ａ）ｎ＝５の場合，直角三角形は自分自身と相似な５個の三角形に分割できるが，それ以外に内角３０°，３０°，１２０°の二等辺三角形（１：１：√３）が可能である．
３０°，３０°，１２０°の角をもつ三角形は，正三角形格子（３，６）の各面を３個の合同な三角形に分解することによってできるモザイク模様である．「麻の葉」文様と呼ばれるくり返し文様であり，日本では古くから装飾工芸品や寄木細工のデザインなどとして用いられているから，ご存じの方も多いと思う．
自分自身と相似な５個の三角形に分割するには，内心で３等分した正三角形の２辺に相似な２等辺鈍角三角形をつける．５つの相似三角形に分割できる三角形はこの２種類のみであることがウシスキンとワイメントにより証明されている．
［Ｑ］正三角形を３つの相似な図形に分割せよ．ただし，どの２つの図形も互いに合同ではないとする．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【２】四角形分割
（Ｑ）正方形を（同じ大きさでなくてもよい）ｎ個の小正方形に分割できるようなｎは何か？
（Ａ）ｎ＝２，３，５以外のすべてのｎ個の小正方形に分割できる．
正方形の場合，ｎ≧６ならばすべてのｎ個の小正方形に分割できる．立方体の場合はｎ≧４８のとき小立方体に分解できると予想されている．また，正方形を大きさがすべて異なる小正方形に分割する問題の最小位数は２１である．→コラム「方積問題」参照
［Ｑ］正方形を３つの相似な長方形に分割せよ．ただし，どの２つの長方形も互いに合同ではないとする．→コラム「パドヴァン数列とプラスチック比」参照
［Ｑ］正方形を３つの相似な図形に分割せよ．ただし，どの２つの図形も互いに合同ではないとする．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【３】未解決の分割問題
三角形分割，四角形分割の問題にはなお以下のような未解決問題が残っている．
［Ｑ］元の三角形とは相似でない，互いに相似なｎ個の三角形に分割できる三角形とは？
［Ｑ］元の四角形と相似な，互いに相似なｎ個の四角形に分割できる四角形とは？
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【４】トロミノの分割問題（おまけ）
平面図形の分割問題をもう少し取り上げる．
［Ｑ］Ｌ字型のトロミノ
□
□□
を合同な４片に分割せよ．
［Ｑ］Ｌ字型のトロミノは２，３，４，６，８，９，１０，１２，１４個の合同細片に分割されるが，５，７，１１，１３個の合同細片に分割できるだろうか？
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝