１^3+５^3+３^3=１５３

のように

１００ａ＋１０ｂ＋ｃ＝ａ^3+ｂ^3+ｃ^3となる数を３ナルシスト数，

１０^3ａ＋１０^2ｂ＋１０ｃ＋ｄ＝ａ^4+ｂ^4+ｃ^4＋ｄ^4となる数を４ナルシスト数，

１０^4ａ＋１０^3ｂ＋１０^2ｃ＋１０ｄ＋ｅ＝ａ^5+ｂ^5+ｃ^5＋ｄ^5＋ｅ^5となる数を５ナルシスト数というのだそうである．

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［Ｑ］１００ａ＋１０ｂ＋ｃ＝ａ^3+ｂ^3+ｃ^3となる３ナルシスト数をみつけよ

　この問題は（その１）の問題とは違って，やってみるまではわからないという代物である．その意味でナルシスト（自己中心的）なのかもしれないが，３ナルシスト数は１５３，３７０，３７１，４０７の４つある．

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　最初の数字が０でない４ナルシスト数には，

　　８^4＋２^4＋０^4＋８^4＝８２０８

以外にも

　　１^4＋６^4＋３^4＋４^4＝１６３４

　　９^4＋４^4＋７^4＋４^4＝９４７４

　５ナルシスト数は

　　５^5＋４^5＋７^5＋４^5＋８^5＝５４７４８

　　９^5＋２^5＋７^5＋２^5＋７^5＝９２７２７

　　９^5＋３^5＋０^5＋８^5＋４^5＝９３０８４

がある．

　ｎナルシスト数はｎ≦６０のときしか存在しない．なぜなら，

　　ｎ・９^n＜１０^n-1

　　ｌｏｇｎ＋ｎｌｏｇ９＜ｎ−１

　　ｌｏｇｎ＋．９６４２４３ｎ＜ｎ−１

ｎ＝６１のとき，左辺５９．９９４１，右辺６０

となるからである．

　ナルシスト数は全部で８８個あることが証明されている．ｎ＝２ではナルシスト数は存在しない．ｎ＝４では１６３４，８２０８，９４７４．ｎ＝５では５４７４８，９２７２７，９３０８４．ｎ＝６では５４８８３４．

　その最も大きなものは３９桁の数，

１１５１３２２１９０１８７６３９２２５６５０９５５９７９７３９７１５２２４０１

２番目に大きいものは同じく３９桁の数，

１１５１３２２１９０１８７６３９２２５６５０９５５９７９７３９７１５２２４００

である．

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