正の整数Ａが３辺が有理数の直角三角形の面積になっているとき，すなわち，Ａ＝ａｂ／２，ａ^2＋ｂ^2＝ｈ^2のとき，合同数と呼ばれる．

　ピタゴラス三角形と関連する合同数は古い歴史をもっていて，合同数をすべて求めること，あるいは与えられた正の整数Ａが合同数であるかどうかを判定することは古代からの問題であった．たとえば，６は直角三角形（３，４，５）の面積，３０は直角三角形（５，１２，１３）の面積であるから合同数である．最小の合同数は直角三角形（３／２，２０／３，４１／６）の面積５である．面積が１，２，３，４となる３辺が有理数である直角三角形は存在しないのである．

　１が合同数ではないことはフェルマーが証明した．７が合同数であることを示したのはオイラーである．

　面積としては平方因子を含まない整数を考えればよいことになる．合同数問題を同値な形で言い換えると，「Ａを与えるとき，有理数ｘでｘ^2＋Ａとｘ^2−Ａがともに有理数の平方となるものを見つけることができるか」になる．すなわち，（平方因子をもたない）正の整数Ａが合同数であるための必要十分条件は

　　ｘ^2＋Ａｙ^2＝ｚ^2

　　ｘ^2−Ａｙ^2＝ｗ^2

が整数解でｙ≠０のものをもつことである．Ａ＝１のときがフィボナッチの問題である．

　連立整数解をもつ整数Ａが合同数であるが，合同数がいまもなお興味をかきたてる理由のひとつは，合同数では最小解がしばしば常軌を逸した大きさになるからである．たとえば，Ａ＝１０１は合同数であって，最小解は

　　ｘ＝２０１５２４２４６２９４９７６０００１９６１

　　ｙ＝　１１８１７１４３１８５２７７９４５１９００

　　ｚ＝２３３９１４８４３５３０６２２５００６９６１

　　ｗ＝１６２８１３４３７０７２７２６９９９６９６１

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