ａｒｃｔａｎ（１／ｎ）を２項まで使って，πを表現する方法はステルマーの定理より次の５つしかないことが知られています．
π／４＝ａｒｃｔａｎ（１／１）
π／４＝ａｒｃｔａｎ（１／２）＋ａｒｃｔａｎ（１／３）
π／４＝２ａｒｃｔａｎ（１／２）−ａｒｃｔａｎ（１／７）
π／４＝２ａｒｃｔａｎ（１／３）＋ａｒｃｔａｎ（１／７）
π／４＝４ａｒｃｔａｎ（１／５）−ａｒｃｔａｎ（１／２３９）
このシリーズの目的はこのことの証明にあるのですが，今回のコラムではいよいよ証明について考えてみます．
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【１】加法定理
π／４＝ａｒｃｔａｎ１＝ａｒｃｔａｎ（１／ｎ）±ａｒｃｔａｎ（１／ｍ）
を満足させるｎ，ｍ（ｎ＞ｍ）を求めてみましょう．
［１］＋の場合
ａｒｃｔａｎａ＋ａｒｃｔａｎｂ＝ａｒｃｔａｎ（（ａ＋ｂ）／（１−ａｂ））
を使うと
１＝（１／ｎ＋１／ｍ）／（１−１／ｎｍ）
ｍ＝（ｎ＋１）／（ｎ−１）＝１＋２／（ｎ−１）
したがって，ｍが整数となるためには（ｎ，ｍ）＝（３，２）しかありません．
ａｒｃｔａｎ（１／１）＝ａｒｃｔａｎ（１／２）＋ａｒｃｔａｎ（１／３）
は傾き１／２と１／３の坂の角度が傾き１／１になることを示しています．
［２］−の場合
１＝（１／ｎ−１／ｍ）／（１＋１／ｎｍ）
ｍ＝−（ｎ＋１）／（ｎ−１）より解なし
次に，任意のａｒｃｔａｎ（１／ｎ）を２項に分解することを考えてみます．
ａｒｃｔａｎ（１／ｎ）＝ａｒｃｔａｎ（１／ｐ）＋ａｒｃｔａｎ（１／ｑ）
同様に公式を使うと
１／ｎ＝（１／ｐ＋１／ｑ）／（１−１／ｐｑ）
ｎ＝（ｐｑ−１）／（ｐ＋ｑ）
ｑ＝（ｎｐ＋１）／（ｐ−ｎ）
ここで，ｐ＝ｎ±ｍとおくと
ｑ＝ｎ±（ｎ^2＋１）／ｍ
ａｒｃｔａｎ（１／ｎ）＝ａｒｃｔａｎ（１／（ｎ±ｍ））＋ａｒｃｔａｎ（ｍ／（ｎ^2±ｍｎ＋１））
したがって，ｎ^2＋１＝ｋｍなるｋが存在するならばｑは整数になることがわかります．
ｎ＝１，２，３，・・・，ｍ＝１とおくと
ａｒｃｔａｎ（１／１）＝ａｒｃｔａｎ（１／２）＋ａｒｃｔａｎ（１／３）
ａｒｃｔａｎ（１／２）＝ａｒｃｔａｎ（１／３）＋ａｒｃｔａｎ（１／７）
ａｒｃｔａｎ（１／３）＝ａｒｃｔａｎ（１／４）＋ａｒｃｔａｎ（１／１３）
ａｒｃｔａｎ（１／４）＝ａｒｃｔａｎ（１／５）＋ａｒｃｔａｎ（１／２１）
のように２項に分解できます．この結果，
π／４＝２ａｒｃｔａｎ（１／２）−ａｒｃｔａｎ（１／７）
π／４＝２ａｒｃｔａｎ（１／３）＋ａｒｃｔａｎ（１／７）
が得られます．
ｎ＝１，２，３，・・・，ｍ＝−１
ｎ＝１，２，３，・・・，ｍ＝±２
ｎ＝１，２，３，・・・，ｍ＝±５
ｎ＝１，２，３，・・・，ｍ＝±１０
ｎ＝１，２，３，・・・，ｍ＝２^p・（４ｋ＋１）^q
とおいても２項に分解することができるので，各項に加法定理を繰り返し施すことによって，πのａｒｃｔａｎ級数公式を無数に得ることができます．その際，項数は増えていくのですが，さらに展開を続けていくうちにどこかで劇的に２項まで減少する可能性があります．
まだ得られていない
π／４＝４ａｒｃｔａｎ（１／５）−ａｒｃｔａｎ（１／２３９）
はその１例ですが，このような展開をやみくも（絨毯爆撃的）に進めていく解き方は端的にいってアート（技巧）はあってもセオリー（一般的理論）がなく，勘や経験や個々の問題の性質に負っていて，決定打にはなりません．
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【２】１＋ｉのｎ±ｉ分解
問題はこの型のすべての整数解を求めることですが，試行錯誤ではいささか難ありですから，（その２）に掲げた一般的理論（ステルマー分解）に倣って，１＋ｉ（傾き１／１の坂）をｎ±ｉで分解することを考えてみます．ただし，一意に表される必要はないので，ｎはステルマー数でなくてもよいことにします．
ａｒｃｔａｎ（１／ｎ），ａｒｃｔａｎ（１／ｍ）の２項を使って，πを表現する方法は
（１＋ｉ）（ｎ−ｉ）^r＝（ｍ±ｉ）
となるｎ，ｍ，ｒを求める問題に帰着されるのですが，
π／４＝ａｒｃｔａｎ１＝ａｒｃｔａｎ（１／ｎ）±ａｒｃｔａｎ（１／ｍ）
が成り立つのは，ただ１通り
π／４＝ａｒｃｔａｎ（１／２）＋ａｒｃｔａｎ（１／３）
ですから，ｎについてはｎ＝２，３がその候補となります．また，
２^2＋１＝５，３^2＋１＝１０＝２・５
より，ｎ＝５もその候補で，ｎの候補はｎ＝２，３，５に限られることもわかります．
ｒについては，複素数の掛け算は偏角の足し算に対応しますから，偏角を幾何学的に考慮することによって，
｜π／４−ｒ・ａｒｃｔａｎ（１／ｎ）｜＜ａｒｃｔａｎ（１／ｎ）
π／４／ａｒｃｔａｎ（１／ｎ）−１＜ｒ＜π／４／ａｒｃｔａｎ（１／ｎ）＋１
の範囲に収まることがわかります．
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［１］ｎ＝２→ｒ＝１，２
（１＋ｉ）（２−ｉ）＝（３＋ｉ）
→π／４＝ａｒｃｔａｎ（１／２）＋ａｒｃｔａｎ（１／３）
（１＋ｉ）（２−ｉ）^2＝（７−ｉ）
→π／４＝２ａｒｃｔａｎ（１／２）−ａｒｃｔａｎ（１／７）
［２］ｎ＝３→ｒ＝２，３
（１＋ｉ）（３−ｉ）^2＝７（７−ｉ）
→π／４＝２ａｒｃｔａｎ（１／３）＋ａｒｃｔａｎ（１／７）
（１＋ｉ）（３−ｉ）^3＝４（１１−２ｉ）→×
［３］ｎ＝３→ｒ＝３，４
（１＋ｉ）（５−ｉ）^3＝４（４６−９ｉ）→×
（１＋ｉ）（５−ｉ）^4＝４（２３９−ｉ）
→π／４＝４ａｒｃｔａｎ（１／５）−ａｒｃｔａｎ（１／２３９）
これでａｒｃｔａｎを２つ使ってπを表現する公式がすべて出揃いました．実際の数値計算では，項数が少なく分母が大きいものほど有効ですから，マーチンの級数はａｒｃｔａｎを２つ使ってπを表現する公式の中で最良のものであることがお分かりいただけたかと思います．
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