ｎ次元単位超球{x1^2+x2^2+･･･+xn^2≦1}の体積をｎ次元球の体積をＶn，表面積をＳn-1とします．

　　Ｖn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)

で与えられますが，Ｖ1=2（直径）,Ｖ2=π（面積）,Ｖ3=4π/3（体積）はご存知でしょう．

　ｎが整数のとき，実際にＶnの値を計算してみると，超球の体積はｎ＝５のとき最大８π^2／１５＝５．２６３７・・・となり，以後は減少します．

　　　　　　　Ｖn

１次元　　　　２

２次元　　　　π=3.14

３次元　　　　４π／３=4.19

４次元　　　　π^2／２=4.93

５次元　　　　８π^2／１５=5.263

６次元　　　　π^3／６=5.167

７次元　　　　１６π^3／１０５=4.72

（次元を整数に限らなければ５．２５６次元で最大となり，そのときの体積は5.277･･･である．）

単位超球の表面積Ｓn-1はｎＶnとなります（半径ｒのｎ次元球の体積はＶnｒ^n，表面積はｎＶnｒ^n-1）．

　　Ｓ1＝２π，Ｓ2＝４π

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　　Ｖn+1＝Ｓn／（ｎ＋１）

　　Ｓn+1＝２πＶn

　　Ｖn＝２πＶn-2／ｎ

２π＜７より，直観に反してｎ＜７のときＶnは最大になることがわかります．

　実際はｎ＝５のとき最大になるのですが，ｎ≧５のとき，ｎ次元球を配置して，その凸包の体積を最小にするには，直線状に並べるの最善配置であると予想されています（ソーセージ予想）．具体的にはｎ≧４２のとき成り立つことが証明されています．

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