高次元多面体に比べて，高次元球は理解もしやすく，実際に通信理論に応用されています．とくに８次元球や２４次元球の最密充填は重要です．しかし，その様子を思い浮かべるのは大変ですから，３次元の最密球充填で代用することにします．

　３次元の最密球充填は面心立方格子状配置，すなわち，中心に置いた球に対して，同じ層では隣接する６球に接し，上の層では３球，下の層では３球計１２球に接する配置が３次元の最密球充填です．

　一方，３ビットの通信システムでは通信の際のエラーを防ぐ目的で，中心（０，０，０）から√２離れた格子点，たとえば，

（−１，０，１），（−１，−１，０），（０，−１，１），（０，１，１），（−１，１，０），（−１，０，−１），（０，−１，−１），（１，−１，０），（１，０，１），（１，１，０），（０，１，−１）＾，（１，０，−１）が用いられています．ここに半径１／√２の球を配置すると３次元の最密球充填になっているというわけです．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　３ビットの通信システムでは３^3＝２７個の格子点のなかから１３個の最善配置となる格子点が選ばれていたのですが，８ビットの通信システムではどうなっているのでしょうか．

　これには素粒子物理学で有名なＥ8格子が用いられています．Ｅ8格子は

［１］座標成分がすべて整数か（１１２点），すべて整数１／２か（１２８点）のいずれか

［２］座標成分の和は偶数

［３］座標成分の平方の和は２に等しい（原点からの距離が√２）

の２４０個の８次元ベクトル（ルートと呼ばれる）の集まりです．

　ベクトル（１，０，０，−１，０，０，０，０）や（１／２，１／２，−１／２，１／２，１／２，１／２，１／２，−１／２）はルートの１例ですが，Ｅ8格子には全部で２４０個（１１２＋１２８）のルートがあります．

　８ビットの通信システムでは５^8＝３９０６２５個の格子点のなかから２４１個の最善配置をなる格子点が選ばれているのです．

　なお，リー群Ｅ8の次元は２４０個のルートと，それぞれのルートの自由度８の和で，２４８次元となります．その既約表現は４５３０６０個あり，既約表現の間の関係は４５３０６０×４５３０６０の行列として書き下されます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝