【１】周期１の整数

　最も素朴な循環連分数は

　　√ｍ=［ｑ0；２ｑ0，２ｑ0，２ｑ0，・・・］

で表されるものと考えられます．→コラム「整数の平方根の連分数」，「もうひとつの白銀比」参照

　このとき，

　　Ｐ＝２ｑ0^2＋１，Ｑ＝２ｑ0

より，ｍは

　　（２ｑ0^2＋１）^2−ｍ・４ｑ0^2＝±１

を満たす整数となるのですが，結局，このようなｍは

　　ｍ＝ｑ0^2＋１＝２，５，１０，・・・

となることが導き出されます．

　　√２＝［１；２，２，２，・・・］

　　√５＝［２；４，４，４，・・・］

　　√１０＝［３；６，６，６，・・・］

　　√１０１＝［１０；２０，２０，２０，・・・］

［Ｑ］長方形から正方形を２つ切り取った後に残る長方形がもとの長方形と相似になるのは？

［Ａ］１：ｘ＝ｘ−２：１　→　ｘ＝１＋√２

［Ｑ］長方形から正方形をｎ個切り取った後に残る長方形がもとの長方形と相似になるのは？

［Ａ］１：ｘ＝ｘ−ｎ：１　→　ｘ＝（ｎ＋√（ｎ^2＋４））／２

　これは黄金比のもうひとつの一般化であるが，この操作は無限連分数

　　（ｎ＋√（ｎ^2＋４））／２＝［ｎ：ｎ，ｎ，ｎ，，ｎ，・・・］

で表されることと同義である．

　　φ＝［１：１，１，１，，１，・・・］

　　１＋√２＝［２：２，２，２，２，・・・］

　　（３＋√１３）／２＝［３：３，３，３，３，・・・］

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【２】周期１から周期２へ

［Ｑ］大長方形から正方形をａ個切り取った後に残る中長方形から，正方形をｂ個切り取った後に残る小長方形が中長方形と相似になるのは？

［Ａ］単純循環連分数

　　Ｌ＝［ａ：ｂ，ｂ，ｂ，ｂ，・・・］

で表される数Ｌを求めてみることにしましょう．

　　Ｌ−ａ＝Ｒ＝［０：ｂ，ｂ，ｂ，ｂ，・・・］＝１／（ｂ＋Ｒ）

　　Ｒ^2＋ｂＲ−１＝０　→　Ｒ＝（−ｂ＋（ｂ^2＋４）^(1/2)）／２

　　Ｌ＝ａ＋Ｒ＝ａ−ｂ／２＋（ｂ^2／４＋１）^(1/2)

　　ａ＝１，ｂ＝１　→　Ｌ＝（１＋√５）／２＝［１；１，１，１，１，１，・・・］

　　ａ＝１，ｂ＝２　→　Ｌ＝√２＝［１；２，２，２，２，２，・・・］

　　ａ＝２，ｂ＝４　→　Ｌ＝√５＝［２；４，４，４，・・・］

［Ｑ］大長方形から正方形をａ個切り取った後に残る中長方形から，正方形をｂ個切り取り，さらに正方形をｃ個切り取った後に残る小長方形が中長方形と相似になるのは？

［Ａ］同様に，２項が循環する連分数は

　　Ｌ＝［ａ：ｂ，ｃ，ｂ，ｃ，・・・］

　　Ｌ−ａ＝Ｒ＝［０：ｂ，ｃ，ｂ，ｃ，・・・］＝１／（ｂ＋１／（ｃ＋Ｒ））

　　ｂＲ^2＋ｂｃＲ−ｃ＝０　→　Ｒ＝（−ｃ＋（ｃ^2＋４ｃ／ｂ）^(1/2)）／２

　　Ｌ＝ａ−ｃ／２＋（ｃ^2／４＋ｃ／ｂ）^(1/2)

　　ａ＝１，ｂ＝１，ｃ＝２　→　Ｌ＝√３＝［１；１，２，１，２，１，２，・・・］

　　ａ＝２，ｂ＝２，ｃ＝４　→　Ｌ＝√６＝［２；２，４，２，４，２，・・・］

　実数ｘの整数部分，小数部分を

　　ｘ＝［ｘ］＋｛ｘ｝

で表します．同様に，連分数表示を整数部分と小数部分に分けます．

　　［ａ：ｂ，ｂ，ｂ，ｂ，・・・］＝ａ＋［０：ｂ，ｂ，ｂ，ｂ，・・・］＝ａ＋＜ｂ，ｂ，ｂ，ｂ，・・・＞

　　［ａ：ｂ，ｃ，ｂ，ｃ，・・・］＝ａ＋［０：ｂ，ｃ，ｂ，ｃ，・・・］＝ａ＋＜ｂ，ｃ，ｂ，ｃ，・・・＞

　たとえば，小数部分＜ｂ，ｂ，ｂ，・・・＞となる数をｘとおくと，

　　ｘ＝１／（ｂ＋ｘ）　→　ｘ＝（√（ｎ^2＋４）−ｎ）／２

このように循環連分数は整数係数の２次方程式の解となります（ラグランジュの定理）．

　　（√５−１）／２＝［０：１，１，１，，１，・・・］

　　√２−１＝［０：２，２，２，２，・・・］

　　（√１３−３）／２＝［０：３，３，３，３，・・・］

　＜１，１，１，・・・＞＝ｘはｘ＝１／（１＋ｘ）の正の解（√５−１）／２に収束します．この近似分数は，フィボナッチ数列

　　ａ0＝０，ａ1＝１，ａn+2＝ａn＋ａn+1

　　１，２，３，５，８，１３，・・・

の相隣る２項の比となります．

　また，＜２，２，２，・・・＞＝ｘはｘ＝１／（２＋ｘ）の正の解√２−１に収束します．この近似分数は，数列

　　ａ0＝１，ａ1＝１，ａn+2＝ａn＋２ａn+1

　　１，２，６，１２，２９，７０，・・・

の相隣る２項の比となります．この数列は√２−１の最良近似数列です．

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【３】黄金比のもうひとつの一般化

　最も素朴な循環連分数は

　　√ｍ=［ｑ0；２ｑ0，２ｑ0，２ｑ0，・・・］

で表されます．このとき，

　　Ｐ＝２ｑ0^2＋１，Ｑ＝２ｑ0

より，ｍは

　　（２ｑ0^2＋１）^2−ｍ・４ｑ0^2＝±１

を満たす整数となるのですが，結局，このようなｍは

　　ｍ＝ｑ0^2＋１＝２，５，１０，・・・

となることが導き出されます．

　　√２＝［１；２，２，２，・・・］

　　√５＝［２；４，４，４，・・・］

　それに対して，高貴な数とは黄金比のようにその連分数展開が無限に多くの１で終わる数

　　［ａ0：ａ1，・・・，ａn，１，１，１，・・・］

として定義される．→コラム「高貴な数」参照

　たとえば，

　　１／τ^2＝１／（１＋τ）＝［０：２，１，１，１，・・・］

であり，黄金比

　　τ＝［１：１，１，１，１，・・・］

は無理数の中の最も無理な数であり，高貴な数の中で最も高貴なものである．

　なお，ｗ＝［０：ａ1，ａ2，・・・］とすれば

　　１−ｗ＝［０：１，ａ1−１，ａ2，・・・］

ｗが高貴であるならば１−ｗもそうである．また，もし，ａ1−１＝０ならば，１−（１−ｗ）＝ｗより

　　［・・・，ａm，０，ａm+2，・・・］＝［・・・，ａm＋ａm+2，・・・］

　　１／（１＋τ）＝［０：２，１，１，１，・・・］

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　　√２＝［１：２，２，２，２，・・・］

を得るのに，

　　Ａk＝２Ａk-1＋Ａk-2，Ａ0＝１，Ａ1＝１

　　Ｂk＝２Ｂk-1＋Ｂk-2，Ｂ0＝０，Ｂ1＝１

を用いて　　

　　Ａk＝１，１，３，７，１７，４１，９９，・・・

　　Ｂk＝０，１，２，５，１２，２９，７０，・・・

を得る．Ａk，Ｂkはｘ^2−２ｙ^2＝＋１とｘ^2−２ｙ^2＝−１の解と交互に対応する．そして，Ａk／Ｂkは上下から交互に√２に近づく．

　ν＝［ａ0：ａ1，・・・，ａn，１，１，１，・・・］

によって定義される高貴な数νは，

　　ν＝（τＡn＋Ａn-1）／（τＢn＋Ｂn-1）

のように表現できる．ここでＡk，Ｂkは［ａ0：ａ1，・・・，ａn］のｋ番目の近似分数の分子と分母である．

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