三角数，四角数，・・・などを２次元図形数と呼ぶならば，正四面体数，正四角錐数，正八面体数，立方八面体数，切頂四面体数，切頂八面体数，・・・などは３次元図形数と称することができます．

　　［参］コンウェイ，ガイ「数の本」シュプリンガー・フェアラーク東京

によると，

　正四面体数＝ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）／６

　正四角錐数＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６

　正八面体数＝ｎ（２ｎ^2＋１）／３

　切頂四面体数＝ｎ（２３ｎ^2−２７ｎ＋１０）／６

　切頂八面体数＝１６ｎ^3−３３ｎ^2＋２４ｎ−６

とあります．

　正四角錐数が

　　１^2＋２^2＋３^2＋・・・＋ｎ^2＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６

となることは理解しやすいと思いますが，これらの図形数はＯ（ｎ^3）になります．

　それでは球を立方最密充填したとき，各多面体の表面にはいくつの球が並ぶのでしょうか？

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【１】フラーの定理

　各辺にｎ＋１個の合同な球を配置して，正四面体，正四角錐，正八面体，立方八面体，切頂四面体，切頂八面体を立方最密充填したとき，周辺の球の総数は，それぞれｂ＝２，３，４，１０，１４，３０として

　　ｂｎ^2＋２

となる．

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【２】雑感

　フラーの定理では周辺の球の総数はもちろんＯ（ｎ^2）となっているが，ｎ＝１のとき，それは各多面体の頂点数のはずであるが，しかるに，

　　　　　　　　　　　　　　　　　フラーの定理

　　正四面体の頂点数＝４　　　　　２＋２＝４

　　正四角錐の頂点数＝５　　　　　３＋２＝５

　　正八面体の頂点数＝６　　　　　４＋２＝６

　　立方八面体の頂点数＝１２　　　１０＋２＝１２

　　切頂四面体の頂点数＝１２　　　１４＋２＝１６

　　切頂八面体の頂点数＝２４　　　３０＋２＝３２

である．

　切頂四面体，切頂八面体の場合は明らかに合致しない．フラーの定理への疑義を感じたのだが，正六角形面の中心にも球を配置することができるから，

　　切頂四面体の頂点数＋正六角形面数＝１２＋４　　　１４＋２＝１６

　　切頂八面体の頂点数＋正六角形面数＝２４＋８　　　３０＋２＝３２

となって，小生の解釈の間違いであるころがわかった．

　なお，

　　［参］コンウェイ，ガイ「数の本」シュプリンガー・フェアラーク東京

には立方八面体数は記されていなかったが，そのかわり

　星状八面体数＝ｎ（２ｎ^2−１）

　体心立方数＝ｎ^3＋（ｎ−１）^3＝（２ｎ−１）（ｎ^2−ｎ＋１）

　菱形１２面体数＝（２ｎ−１）（２ｎ^2−２ｎ＋１）

が掲げられている．

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